في هذا المقال، سنتناول موضوع المتجهات في المستوى الإحداثي. المتجه هو عنصر يمتاز بالحجم والاتجاه، ومن الناحية الهندسية، يمكن تصوّره كمقطع خطي مُوجَّه، حيث يُمثل طوله حجم المتجه، بينما يُشير السهم المرسوم على هذا المقطع إلى اتجاهه. يكون اتجاه المتجه ممتدًّا من ذيله إلى رأسه، وهذا ما يُبرز أهميته الكبيرة في العديد من المجالات العلمية. في هذا السياق، سنتعرف على تعريف المتجهات وأهميتها.
مقدمة حول المتجهات في المستوى الإحداثي
تُعتبر المتجهات حيوية في مجالات مثل الملاحة، حيث يُمكن حساب السرعة الفعلية للطائرة بالنسبة للأرض من خلال جمع السرعات المركبة الناتجة عن الرياح التي تؤثر على حركة الطائرة، إلى جانب سرعتها في الهواء الثابت. وبالتالي، تحتاج المتجهات إلى اهتمام أكبر في تطبيقاتها العملية.
تعريف المتجه
- المتجه هو كمية تتمتع بمقدار (رقم) واتجاه، كما يُعتبر عكس الكميات العددية التي تفتقر إلى أي اتجاه.
- على سبيل المثال، تُعبر سرعة السيارة 60 ميلًا في الساعة عن كمية عددية، بينما إذا قُدِّمت بنفس السرعة مع تحديد الاتجاه، مثل “60 ميلًا في الساعة شمالًا”، تصبح سرعة متجهة.
- المسافة هي كمية عددية تُحديد فقط المسافة التي تم قطعها، مثل 400 متر، دون النظر إلى الاتجاه.
- بالمقابل، تُعتبر الإزاحة متجهًا لأنها تقيس الفرق بين موضعين، حيث إذا عدت إلى نقطة البداية، تكون الإزاحة صفرية. هذا يعكس تأثير الاتجاه أو الحركة على قيمة الإزاحة كونه متجهًا.
- غالباً ما يتم تمثيل المتجهات رسوميًا بواسطة سهم، حيث يُشير طول السهم إلى حجم المتجه، في حين يمثل السهم القصير حجمًا أصغر.
خصائص المتجهات
- تُعتبر متجهتين متطابقتيْن إذا كانتا تحملان نفس الحجم والاتجاه. وبالتالي، في حالة نقل متجه إلى موقع جديد دون تغيير اتجاهه، تبقى خصائصه كما هي.
- تُمثل القوة والسرعة مثالين على المتجهات، حيث يُستخدم فيزياءً العديد من الكميات الرياضية.
- أمثلة إضافية تشمل السرعة والقوة والعمل والطاقة، وغالبًا ما تُصنف هذه الكميات إلى كميات عددية وكميات متجهة.
الكميات الفيزيائية
- الكميات العددية تُعرَّف بأرقام وحجم فقط، مثل السرعة والكتلة ودرجة الحرارة والطاقة.
- على عكس ذلك، تُعتبر المتجهات كميات تحتوي على مقدار واتجاه، ما يجعلها ضرورية لدراسة الحركة. تشمل الأمثلة المتجهة القوة والسرعة والتسارع والإزاحة.
- تتميز الكمية المتجهة بوجود اتجاه وحجم، بينما الكمية العددية تفتقر لوجود اتجاه. يمكن تمييز المتجه من خلال ارتباطه باتجاه معين.
- على سبيل المثال، تُعتبر السرعة كمية عددية، بينما السرعة المتجهة تشير إلى الاتجاه والحجم معًا.
كيفية رسم المتجهات
- يُرسم المتجه كسهم ذو رأس وذيل، ويُعبر طول السهم عن حجم المتجه، بينما يُظهر اتجاه السهم الاتجاه المطلوب.
- مثلاً، إذا كان لاعب كرة القدم يركض بسرعة 10 أميال في الساعة نحو منطقة النهاية، فهذا يمثل متجهاً بسبب وجود حجم (10 ميل في الساعة) واتجاه (نحو منطقة النهاية).
- على النقيض، إذا كان لدينا حجم صندوق على الجانب الغربي من المبنى يُقدّر بـ 14 قدم مكعب، فإنه يمثل كمية عددية فقط ولا يحدد اتجاه.
- عندما تُحدد درجة حرارة الغرفة بـ 15 درجة مئوية، فإنها تُعتبر كمية عددية بدون اتجاه.
- إذا كانت السيارة تتسارع شمالًا بمعدل 4 أمتار في الثانية مربعة، فإن هذا يُعتبر متجهًا لأنه يتضمن كلاً من الاتجاه والحجم، مما يُشير إلى كون التسارع كمية متجهة.
حقائق مثيرة حول المتجهات
- تُعتبر المتجهات الوحدوية متجهات بحجم 1 تُستخدم لتحديد الاتجاه.
- يُعزى الفضل في اختراع المتجهات غالبًا إلى الفيزيائي الأيرلندي ويليام روان هاميلتون.
- تلعب المتجهات والقيم العددية دورًا مهمًا في مجالات الرياضيات والعلوم.
- يمكن تعريف المتجهات في فضاء ثنائي أو ثلاثي الأبعاد.
- تُستخدم رسومات المتجهات في الحواسيب لأنه يمكن تغيير حجمها دون فقدان الجودة.
- يتم الإشارة إلى المتجهات عادةً باستخدام حروف عريضة أو الأسهم، كما في a أو b أو بواسطة الرموز الأخرى.
- لدى الإشارة إلى حجم المتجه، يُستخدم الرمز ∥a∥، بينما الأرقام العددية يتم الإشارة إليها بشكل قياسي.
- من الممكن استكشاف مفهوم الحجم والاتجاه باستخدام التطبيقات الملائمة، حيث أن نقل المتجه لا يؤثر على خصائصه الأصلية، ولكن تغيير طوله أو اتجاهه يؤدي إلى تغييرات ملحوظة.
أهمية المتجهات
- في علم الرياضيات، يُنظر إلى النقاط والفضاء كأفكار تجريدية، ويتم بناء نموذج الفضاء باستخدام نظام الإحداثيات، حيث يتكون النظام ثلاثي الأبعاد من مجموعة غير محدودة من الأرقام الثلاثية (س، ص، ض).
- تُستخدم المتجهات في العلوم لوصف الكيانات التي تمتلك اتجاهًا وحجمًا، وعادة ما يتم تمثيلها بأسهم، وهذا يُظهر العلاقة بين طول السهم وحجم الموجه.
- يمكن استخدام المتجهات لتمثيل الظواهر الفيزيائية المختلفة مثل الرياح، التي لها اتجاه محدد وحجم معين.
- تُستخدم المتجهات لرسم خريطة تدفق الهواء عبر مواقع جغرافية متنوعة.
- تتمتع العديد من خصائص الأشياء المتحركة بطبيعة متجهة، كما هو الحال في سرعة كرة البلياردو التي تعبر عن اتجاه وحركة الكرة.
- تتيح المتجهات إمكانية التنبؤ بما يحدث عند تصادم كائنين، ويتم إضافة المتجهات لسابقاتها في شكل يسمى متوازي الأضلاع، حيث يُمثل القطر الناتج مجموع المتجهات في أطراف المتوازي.
ختام بحث المتجهات في المستوى الإحداثي
ختامًا، آمل أن يكون هذا البحث حول المتجهات في المستوى الإحداثي قد نال إعجابكم. من خلال فهم المتجهات، يستطيع لاعبو البلياردو توقع مسار الكرات بعد الاصطدام، مما يُسهل عليهم إغراق كرات أخرى مع الحفاظ على الكرة البيضاء، وبالتالي تحقيق المزيد من النقاط والأهداف.
