يعتبر البحث عن الإحداثيات القطبية والمركبة موضوعًا يجذب اهتمام الكثيرين، حيث تعد الإحداثيات مجموعة من الأرقام التي تُستخدم لوصف موقع نقطة ما بشكل نسبي. يتناول هذا البحث دراسة مفاهيم الإحداثيات في نطاق مادتي العلوم، وخاصًة في فرعي الفيزياء والرياضيات. وتوجد أشكال مختلفة من الإحداثيات، مثل النظام الديكارتي.
دراسة الإحداثيات القطبية والمركبة
يلجأ العديد من الأفراد إلى إعداد بحث حول الإحداثيات القطبية والمركبة، نظرًا لأهميتها في مجالات العلوم. يقوم كل بحث منها على ضرورة استعراض مجموعة من العناصر التي توضح مفهومها بشكل كامل، مثل:
1- الإحداثيات القطبية
- النظام الإحداثي القطبي هو نظام ثنائي الأبعاد يُستخدم لتحديد موقع أي نقطة في المستوى عن طريق قياس المسافة بين النقطة ومركز معين مع تحديد الزاوية بين الخط الواصل من المركز إلى النقطة.
- تشمل عناصر النظام الإحداثي المتغيرات التي تساعد على معرفة موقع نقطة ما في مستوى ثنائي الأبعاد.
- تُستخدم الإحداثيات الديكارتية والتي تعتمد على نظام الإحداثيات القطبية أو الكروية، حيث تُعبر عن نصف القطر وزاوية الإسقاط على الدوائر الاستوائية والقطبية.
- يمتاز النظام القطبي بسهولة التعبير عن العلاقة بين نقطتين من حيث المسافة والزوايا، كما هو تًرى في حركة البندول.
2- أنواع الإحداثيات القطبية
1- الإحداثيات الأسطوانية
- تمثل واحدة من الأنظمة الثلاثية الأبعاد، حيث تُعبر النقطة باستخدام ثلاث قيم هي: ع، غ، ف، والتي ترتبط بتعريفات مرتبطة بالإحداثيات الديكارتية كما نصف قطر.
- يتم تحديد الإحداثيات الأسطوانية عن طريق قياس المسافة بين محور الصادات والنقطة داخل المستوى.
- تُعرف الزاوية بأنها المسافة الناتجة بين المحور والنقطة م في مستوى س، ص.
- تكون المسافة سالبة وتقع في منتصف المستوى س، ص بين النقطة م.
لا تنسى قراءة مقالنا عن:
2- الإحداثيات الكروية
- يمثل نظام الإحداثيات القطبية ثلاثية الأبعاد ويتكون من عناصر تشمل نصف القطر، والإحداثيات الصادية، زاوية السمت، والأوج.
3- الإحداثيات الدائرية
تعرف بأنها نظام ثلاثي الأبعاد يُستخدم للتعبير عن النقطة م عبر الأنظمة ن، ت، ل.
نظام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد
- يعمل على توفير الأبعاد الفيزيائية الثلاثة: الطول، العرض، والارتفاع. ويكون النظام في شكل س، ص، ز.
- يمكننا استخراج إحداثيات النقاط س، ص، ز من خلال الأبعاد في مستوى ص، ز وأيضًا في مستوى س، ص، حيث يُمكن تقسيم النظام ثلاثي الأبعاد إلى ثماني مناطق تشبه المناطق ثنائية الأبعاد.
أهم الأنظمة الإحداثية ونظام الإحداثيات القطبية
أولاً: نظام الإحداثيات الديكارتي
- يعتمد هذا النظام على تحديد موقع نقطة باستخدام رقمين يُطلق عليهما الإحداثي س والإحداثي ص، مما يشكل مستقيمًا مدرجًا. تُعرف الإحداثيات بالتفاصيل والترتيب.
- نبدأ برسم عمودين، محور السينات ومحور الصادات، مع تحديد وحدة الطول والتدرج بشكل متساوٍ.
- يمكن تحديد الأشكال الهندسية، مثل الدائرة، باستخدام الإحداثيات الديكارتية. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن دائرة شعاعها 2 بالمعادلة س² + ص² = 4.
- سُمي النظام الديكارتي نسبةً إلى عالم الرياضيات رينيه ديكارت، الذي قام بمجهود كبير في دمج الجبر مع الهندسة.
ثانيًا: نظام الإحداثيات الإهليجي
- يمثل نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد تكون فيه الإحداثيات إهليلجية ومتحددة ضمن بؤر معينة.
ثالثًا: نظام الإحداثيات الأسطوانية
- يشير إلى نظام إحداثيات ثلاثية الأبعاد، حيث تُعرف النقاط من خلال أحداث قطبيين، وهما المستويات الثابتة والمسافات التي يتم إسقاطها بشكل متوازي.
- تُعرف الإحداثيات القطبية الأولى باسم نصف القطر، بينما تُعرف الثانية بزاوية الموقف أو زاوية السمت.
- فيما يخص الإحداثيات القطبية الثالثة، تتعلق غالبًا بالارتفاع عند استخدام مستوى مرجعي أفقي.
- المحور الطولي، الذي يقطع المستوى المرجعي، يُعرف باسم المحور الأسطواني، ويمكن أن يمر عبر مركز الإحداثيات.
- تمثل هذه الأنظمة مفيدة كلما ارتبطت بالأجسام أو الظواهر التي تظهر تناظرًا دوريًا حول محور طولي.
- كما يمكن استخدامها في دراسة جريان الماء داخل أنبوب مستقيم ذي مقطع عرضي دائري.
رابعًا: نظام الإحداثيات الكروية
- هو نظام إحداثيات ثلاثية الأبعاد، يُستخدم لتحديد موقع النقطة بناءً على ثلاثة أعداد.
- تعتمد المواقع على زاوية الارتفاع أو زاوية الميل للنقطة عن المستوى الثابت، بالإضافة إلى المسافة المقاسة من نقطة الأصل.
- أما زاوية السمت فهي الزاوية التي تحدد الوضع داخل المستوى الثابت.
اقرأ المزيد عن:
تعريف الإحداثيات المركبة
- الأعداد المركبة تُعتبر أساسية في علم الرياضيات، وتتكون من رقمين: واحد حقيقي وآخر مركب، حيث يمثل الأخير الأعداد التخيلية.
- تتمتع الأعداد المركبة بتطبيقات واسعة في العديد من المجالات، بما في ذلك الإلكترونيات والكهرباء والديناميكا.
- تمثل الأعداد المركبة الحل النهائي لمعادلة رياضية تُشبه شكل بعض الأعداد، مثل X² + a² = 0، حيث a هو عدد حقيقي، وبالتالي يتم كتابتها بالشكل X² = -a².
- يمكن التعبير عن العدد المركب على الشكل: ع = أ + ب ت.
الأعداد المركبة والعمليات عليها
- إذا اعتبرنا العنصر أ والعنصر ب أعداد حقيقية، فإن العنصر ت يُعتبر عددًا جذريًا لسالب الواحد. يُعتبر العنصر أ جزءًا حقيقيًا من العدد المركب، بينما ب يمثل الجزء التخييلي.
- يمكن التعبير عن أي مجموعة من الأعداد المركبة باستخدام الرمز ك، حيث ك = ع، وع = أ + ب ت. وينتمي أ – ب إلى ح، حيث ت = ¬جذر -1.
- عملية الجمع بين الأعداد المركبة تُعبر عنها بالمعادلة: ع1 = أ + ب ت، وع 2 = ج + د ت.
- يتم التعبير عنها بالعلاقة التالية: (أ + ج) + (ب + د) ت، مع الأخذ في الاعتبار أن الجمع على أي أعداد مركبة يمثل عملية تجميعية ومغلقة وتبادلية.
- تشمل عملية جمع الأعداد المركبة استخدام النظير الجمعي والعنصر المحايد.
- أما عملية الطرح فتنتج من المعادلة الآتية: {ع1 = أ + ب ت، وع2 = ج + د ت}.
التمثيل البياني للأعداد المركبة
- يمكن كتابة العدد المركب في أي عملية تمثيل بياني بالشكل أ + ب ت، مما يُعين زوجًا مرتبًا من الأعداد الحقيقية.
- يمكن تمثيل العدد (أ، ب) كنقطة في المستوى الديكارتي أو داخل المتجه الرئيسي، بحيث تبدأ من النقطة الأصل، وتنتهي عند النقطة ذات الإحداثيات أ، ب.
- تُعرف الأعداد المركبة باسم الإحداثي الديكارتي أو مستوى أرجاند، ويرجع هذا الاسم إلى العالم الفرنسي أرجند، حيث يُسمى المحور العمودي بالمحور التخيلي، بينما يُعرف المحور الأفقي بالمحور الحقيقي.
