إثبات نظرية فيثاغورس في الرياضيات

إثبات نظرية فيثاغورس

تتيح نظرية فيثاغورس إمكانية إثباتها بعدة طرق، وفيما يلي توضيح الأسباب خلف كل منها:

• الطريقة الأولى: عند وجود مثلث قائم الزاوية ق ل ر، حيث يكون الزاوية القائمة في ل، يمكن إظهار نظرية فيثاغورس كما يلي:
  • لنشِرَ الرموز: طول الضلع (ق ر) هو أ، و(ر ل) هو ب، و(ق ل) هو جـ.
  • نقوم برسم مربع (و س ز ي) الذي سيكون طول كل من أضلاعه مساوياً لمجموع طولي الضلعين (ب+جـ).
  • نحدد النقاط يَ، ف، ج، ح على أضلاع هذا المربع: (و س)، (س ز)، (ز ي)، (ي و)، بشكل يتوافق مع البُعد: و يَ = س ف = ز ج = ي ح = ب، ثم نقوم بالوصل بين هذه النقاط بخط مستقيم لتكوين مربع (يَ ف ج ح) حيث يكون طول كل ضلع من أضلاعه هو أ، والتي تفصل بينه وبين المربع (و س ز ي) أربعة مثلثات أطوال أضلاعها الثلاثة هي: أ، ب، جـ.
  • تعادل مساحة المربع (و س ز ي) مع مساحة المربع (يَ ف ج ح) زائد 4 أضعاف مساحة أحد المثلثات الصغيرة التي ضلوعها هي: أ، ب، جـ.
  • من المعروف أن مساحة المربع تُمثَّل بالمعادلة (طول الضلع)²؛ لذا نحصل على المعادلة: (ب+جـ)² = أ² + 4×(1/2×ب×جـ). ومن هنا، بتفكيك الأقواس نحصل على: ب² + جـ² + 2×ب×جـ = أ² + 2×ب×جـ.
  • عند جمع الحدود، نحصل على نتيجة مفادها: ب² + جـ² = أ²، والتي تعبر عن نظرية فيثاغورس.

• الطريقة الثانية: لنأخذ مثلث أ ب جـ، الذي يكون فيه الزاوية القائمة في ب، ويمكن إثبات نظرية فيثاغورس كما يلي:
  • إذا كانت النقطة د تمثل نقطة المنتصف للضلع أ جـ وبشكل عمودي عليه، وقُصِرنا بربطها مع الرأس ب لتشكيل المثلثين أدب، والمثلث جـ د ب.
  • من الواضح أن المثلثين أ ب جـ و أ د ب متشابهان، حيث يشتركان في الزاوية أ وكلاهما يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، لذا فإن:
    • تتناسب أطوال الضلعين: أد/ أب = أب/ أجـ.
    • بناءً عليه، نجد أن أد × أجـ = (أب)² …….(معادلة 1).
  • نلفت الانتباه أيضاً لوجود تشابه بين المثلثين ب د جـ و أ ب جـ، وذلك بسبب اشتراكهما في الزاوية جـ وكلاهما يحتوي على زاوية قياسها 90 درجة، لذا:
    • تتناسب أطوال الضلعين: د جـ/ ب جـ = ب جـ / أ جـ.
    • وبالتالي، فإن: د جـ × أ جـ = (ب جـ)² …….(معادلة 2).
  • من جمع المعادلتين 1 و 2 نجد أنه:
    • (أد × أجـ) + (د جـ × أجـ) = (أ ب)² + (ب جـ)²، مما يؤدي إلى:
    • بترتيب المعادلة نحصل على: أجـ × ( أد + د جـ) = (أ ب)² + (ب جـ)²، ونعلم أن: أد + د جـ = أجـ، لذا:
    • أجـ × أجـ = (أ ب)² + (ب جـ)²، ومن هنا نحصل على: أ جـ² = (أ ب)² + (ب جـ)²……..(هذه هي نظرية فيثاغورس).

• الطريقة الثالثة: هذه الطريقة تنسب إلى غارفيلد (Garfield)، وهو الرئيس العشرون للولايات المتحدة، الذي اثبت نظرية فيثاغورس باستخدام مساحة شبه المنحرف، والتفاصيل هي كالتالي:
  • يُستخدم شبه منحرف (أب جـ د) القائم عند جـ وب، حيث طولي قاعدتيه هما (أب) = أ و(ج د) = ب، وارتفاعه (ب ج) = (أ + ب)، وقمنا بتقسيمه إلى ثلاثة مثلثات من خلال وضع النقطة (و) على خط الارتفاع، مما يمكّنه من تقسيم الارتفاع إلى (ب و) = ب و(و جـ) = أ. المثلث الأول هو (أب و)، بينما الآخر هو (و جـ د)، وكل منهما يأخذ أبعاد أ، ب، جـ، وأما المثلث الثالث (أود) فهو متساوي الساقين، مع طول كل ساق من ساقيه يعادل جـ، ويحتوي على زاوية قائمة عند و.
  • تحسب مساحة شبه المنحرف بالصيغة: (1/2) × مجموع طول القاعدتين × الارتفاع؛ وبما أن الارتفاع هو (أ + ب)، وطول القاعدة الأول يتطابق مع أ، وطول القاعدة الثانية تتساوى مع ب، فإن مساحة شبه المنحرف تساوي: (1/2) × (أ + ب) × (أ + ب) = (1/2) × (أ² + 2 × أ × ب + ب²).
  • يمكن حساب مساحات المثلثات الثلاثة كالتالي:
    • مساحة المثلث الأول = مساحة المثلث الثاني = (1/2) × أ × ب.
    • مساحة المثلث الثالث = (1/2) × جـ × جـ.
  • وبمقارنة المساحة الكلية لشبه المنحرف مع المساحة الناتجة عن المثلثات الثلاثة، نجد أنه:
    • (1/2) × (أ² + 2 × أ × ب + ب²) = (1/2) × أ × ب + (1/2) × أ × ب + (1/2) × جـ²، وبعد تبسيط هذه المعادلة يصل المرء إلى نظرية فيثاغورس: أ² + ب² = جـ².

أمثلة متنوعة حول نظرية فيثاغورس

• المثال الأول: لديك مثلث أطوال أضلاعه 5، 12، 13. هل هو مثلث قائم؟
  • الحل:
  • من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس يمكننا التحقق مما إذا كان المثلث قائماً؛ حيث تنص هذه النظرية على أن مربع طول الوتر يعادل مجموع مربعي الضلعين الآخرين، لذلك:
    • هل 13² تساوي 12² + 5²؟ هنا نفترض أن 13 هو الوتر، لأنه الضلع الأطول بالمثلث.
    • بالتالي 169 هل تساوي 144 + 25؟ بحساب الطرفين: 169 = 169، مما يؤكد أن هذا المثلث قائم الزاوية.

• المثال الثاني: لديك مثلث قائم الزاوية حيث الوتر هو 17 سم وطول أحد الضلعين 15 سم، فما هو طول الضلع الآخر س؟
  • الحل:
  • باستخدام نظرية فيثاغورس، يتم حساب طول الضلع المجهول كالتالي: الوتر² = طول الضلع الأول² + طول الضلع الثاني²، وبالتالي:
    • 17² = 15² + س²، مما ينتج: 289 = 225 + س²، س² = 289 – 225 = 64.
    • مع الحساب، العلاقة تكون: س = √64 = 8 سم، مما يعني أن طول الضلع الثاني هو 8 سم.

• المثال الثالث: في مثلث أ ب جـ، الوتر (جـ) طوله 10 سم، وواحد من ضلعي القائم (ب) طوله 9 سم، فما هو طول الضلع الثالث (أ)؟
  • الحل:
  • بتطبيق نظرية فيثاغورس نجد الوتر² = طول الضلع الأول² + طول الضلع الثاني²، لذلك:
    • 10² = 9² + أ²، أي 100 = 81 + أ²، مما يؤدي إلى أ² = 100 – 81 = 19، وبالتالي فجذرها هو: أ = 3 سنتيمترات.

• المثال الرابع: لديك سلم إطفاء بطول 41 قدماً يستند إلى مبنى، ويبتعد أسفله عن قاعدة المبنى بمقدار 9 أقدام، فما هو ارتفاع المبنى؟
  • الحل:
  • يمثل السلم مع قمة المبنى مثلث قائم الزاوية حيث يكون الوتر هو طول السلم، بينما الارتفاع والمسافة الأفقية لطرف السلم السفلي عن قاعدة المبنى يمثلان ضلعي القائم، لذلك، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب ارتفاع المبنى كما يلي:
    • طول السلم² = ارتفاع المبنى² + بعد السلم الأفقي عن القاعدة². وبالتالي نحصل على:
    • 41² = ارتفاع المبنى² + 9²، لذا 1681 = 81 + ارتفاع المبنى²، ومن هنا نجد أن ارتفاع المبنى² = 1681 – 81 = 1600، مما يعني أن ارتفاع المبنى هو 40 قدماً.

• المثال الخامس: انطلق أحمد وصديقه خالد على دراجة هوائية من نفس المكان، إذا تحرك أحمد شمالاً وتحرك خالد شرقاً بنفس السرعة، فكم كانت سرعتهما بوحدة (كم/ساعة) مع العلم أن المسافة بينهما بعد ساعتين هي: 2√17 كم؟
  • الحل:
  • نشير إلى أن تحرك أحمد وخالد يشكل مثلثاً قائم الزاوية: الطول بينهما هو 2√17 كم، والمسافة التي قطعها كل منهما تمثل ضلعي القائمة (س)، ولحساب السرعة، علينا أولًا إيجاد طول ضلعي القائمة كما يلي:
    • باستخدام نظرية فيثاغورس نحصل على: (2√17)² = س² + س²، مما يعني (2√17)² = 2س².
    • عند قسمة الطرفين على 2 وإيجاد الجذر التربيعي، نحصل على س = 17 كم.
  • ومن هنا، نجد أن المسافة التي قطعها كل منهما تساوي 17 كم خلال ساعتين، لذلك:
    • السرعة = المسافة/الزمن = 17/2 = 8.5 كم/ساعة.

نظرة عامة على نظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس من أقدم المبادئ الرياضية التي اكتشفها مهندسو البناء القدامى؛ وهي سُميت تعبيراً عن عالم الرياضيات والفيلسوف الإغريقي فيثاغورس، على الرغم من أنه تم اكتشافها من قِبَل البابليين قبل ألف عام من ميلاده. وتنص النظرية على أن في أي مثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يعادل مجموع مربعي الضلعين الآخرين. يُعرف الوتر بأنه الضلع المقابل للزاوية القائمة ويعتبر أطول ضلع في المثلث القائم. تتضمن تطبيقات نظرية فيثاغورس العديد من الاستخدامات، مثل تحديد ما إذا كان مثلث ما قائم الزاوية أو لا، وكذلك حساب طول أي ضلع إذا كانت أطوال الضلعين الآخرين معروفة، إلى جانب قياس الطول الفاصل في المربع أو المستطيل.

للمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس، يمكنك الاطلاع على المقال التالي: قانون نظرية فيثاغورس