يعتبر البحث عن شرح معادلة الكرة بصيغة PDF من أكثر المواضيع التي تهم الطلاب في مختلف المراحل الدراسية، خصوصاً في قسم الهندسة ضمن مقررات مادة الرياضيات. يعتبر درس الكرة محورياً وذلك لتعدد التطبيقات الهندسية والمعمارية والفلكية المرتبطة بالشكل الكروي.
ما هي الكرة؟
- قبل الخوض في تفاصيل البحث عن شرح معادلة الكرة بصيغة PDF، من الضروري توضيح مفهوم الكرة والمصطلحات الهندسية ذات العلاقة. الكرة هي شكل هندسي يشغل حيزاً من الفراغ ويتكون من سطح كروي يُعرف بجسم الكرة.
- وتمتاز الكرة بأن كل نقطة على سطحها تبعد مسافة ثابتة عن المركز، وتُعرف هذه المسافة بنصف قطر الكرة. لذا، يمكن وصف الكرة بأنها مجموعة من النقاط موزعة في كل الاتجاهات تبعد مسافة متساوية عن نقطة محورية تعتبر مركز الكرة.
- البعد بين مركز الكرة وأي نقطة على سطحها يُسمى نصف القطر، بينما المسافة بين أي نقطتين على سطح الكرة التي تمر عبر مركزها تُعرف بالقطر الكامل للكرة. ومن الضروري أن تلتزم جميع نقاط الكرة بالمعادلة العامة المعروفة بمسمى معادلة الكرة.
- تشكل الكرة أحد الأشكال الرمزية الشائعة في حياتنا اليومية وفي مجالات متعددة من العلوم، فنراها في كرات اللعب للأطفال، والكرة الأرضية التي نعيش عليها، فضلاً عن ألعاب الزينة والتصاميم المعمارية.
بحث عن شرح معادلة الكرة بصيغة PDF
- كما أشرنا سابقاً، يجب أن تحقق جميع نقاط الكرة معادلة عامة تُسمى معادلة الكرة. عند تناول بحث حول شرح معادلة الكرة بصيغة PDF، يجب أن نعرف أن لكل كرة معادلة عامة تتباين بحسب إحداثيات نقاطها ومركزها وطول نصف قطرها، الذي يُرمز له بـ (نق).
- تستند معادلة الكرة على ثلاثة محاور أساسية في الفراغ: محور رأسي، محور أفقي، ومحور عمودي. وكل من هذه المحاور يمثل مقطعاً دائري الشكل مكوناً من مجموعة نقاط سطح الكرة، ونُشير إلى هذه المحاور بـ (س) و (ع) و (ص) وكلها تتشارك في نفس مركز الكرة.
- في الحالة العامة، إذا كانت إحداثيات مركز الكرة هي (0،0،0) أي في نقطة الأصل للمحاور الثلاثة، وبافتراض أن نصف القطر هو (نق)، تكون المعادلة العامة لهذه الكرة بالصورة (س2 + ع2 + ص2 = نق2).
- أما في حالات أخرى، إذا كانت إحداثيات المركز مختلفة، مثل النقطة (أ) على محور (س) والنقطة (ب) على محور (ع) والنقطة (ج) على محور (ص)، فحينها تتغير المعادلة بشكل جذري.
- تصبح المعادلة للكرة ذات مركز الإحداثيات (أ، ب، ج) على النحو التالي: [(س – أ)2 + (ع – ب)2 + (ص – ج)2 = نق2]، بافتراض أن نصف القطر هو (نق).
- عند تحليل المعادلة السابقة، نحصل على الشكل [س2 + ع2 + ص2 + 2أ س + 2ب ع + 2 ج ص + د = 0]، حيث (د) هو عدد ثابت.
طريقة حساب معادلة الكرة في المسائل
- بعد أن تعرفنا على المعادلة العامة للكرة في مختلف الحالات، من المهم أن نشرح كيفية حساب هذه المعادلة وتطبيقها في المسائل، حيث تعتمد الحلول على هذه المعادلة.
- على سبيل المثال، إذا كانت المسألة تطلب منا إيجاد معادلة الكرة التي يكون مركزها عند الإحداثيات (2،1،3) ونصف قطرها يساوي 4 سم، فإننا نكتب المعادلة العامة وفق الشكل السابق، مع الأخذ في الاعتبار أن المركز لا يقع في نقطة الأصل.
- نكتب المعادلة بصيغة [(س – أ)2 + (ع – ب)2 + (ص – ج)2 = نق2]، وبعد تعويض القيم تصبح [(س – 2)2 + (ع – 1)2 + (ص – 3)2 = (4)2]، وبالتالي المعادلة هي [(س – 2)2 + (ع – 1)2 + (ص – 3)2 = 16]، ويمكن تحليل هذه المعادلة إذا طلب ذلك.
لا تتردد في الاطلاع على مزيد من المعلومات عبر:
الخصائص العامة المرتبطة بمعادلة الكرة
- حدد كل من العالِمين ستيفن قوسن وديفيد هلبرت عدداً من الخصائص العامة للكرة التي تساعد في توضيح بحث عن شرح معادلة الكرة بصيغة PDF، والتي تتعلق بالمستويات الإحداثية التي تمر بها الكرة، كما ناقشنا في الفقرة السابقة مع المحاور (س، ع، ص).
- من بين الخصائص المهمة للكرة هي أن بعد جميع نقاطها عن مركزها هو بعد ثابت يُعرف بنصف القطر.
- إن محيط الكرة وكل مقاطعها المستوية في الفراغ هي دوائر.
- تمتلك الكرة محيطاً ثابتاً وعرضاً ثابتاً أيضاً.
- كل النقاط الموجودة على سطح الكرة هي نقاط غير مرئية، مما يعني أننا يمكننا رؤية شكل الكرة فقط ككل، دون القدرة على رؤية النقاط الفردية.
- جميع المنحنيات على سطح الكرة هي منحنيات مغلقة.
- تتمتع الكرة بمتوسط انحناء ثابت، وأقل انحناءً مقارنة بمواد أخرى عندما تكون عبارة عن جسم صلب.
- لا يمكن تصنيف الكرة ضمن الحديد عديدة الأضلاع، مثل المنشور، وذلك لكونها تتألف من سطح خارجي واحد ثلاثي الأبعاد يمثل جسمها.
- كما تفتقر الكرة إلى أي زوايا أو أضلاع أو حواف أو رؤوس.
معادلة حجم الكرة
- من الضروري في دراسة معادلة الكرة بصيغة PDF ذكر أهم المعادلات المرتبطة بها، وأبرزها معادلة حجم الكرة، التي تعبر عن سعة الفراغ الداخلي، وعادة ما يتم قياسه بوحدات مكعبة كونه يشمل ثلاثة أبعاد.
- تُعطى معادلة حجم الكرة بالشكل التالي: (حجم الكرة = 4/3 × π × نق3). حيث (π) هو رقم ثابت تقريباً يساوي 3.14، والـ (نق3) هو القيمة المكعبة لنصف القطر.
- على سبيل المثال، إذا كان لدينا كرة نصف قطرها 5 سم، نطبق المعادلة لنحسب الحجم كالتالي: [حجم الكرة = 4/3 × π × (5)3]، وهو ما يعني أن الحجم يساوي 294.37 سم3.
معادلة مساحة الكرة
- المعادلة الثانية الهامة فيما يتعلق بشرح معادلة الكرة بصيغة PDF هي معادلة مساحة الكرة، والتي تشير فقط إلى مساحة السطح الخارجي الكروي الذي يشغله من الفراغ، ويتم قياس المساحة بوحدات مربعة لأنها تشمل بعدين فقط.
- تُعطى معادلة مساحة سطح الكرة بالعلاقة التالية: (مساحة الكرة = 4 × π × نق2). فإذا أردنا حساب مساحة كرة نصف قطرها 3 سم، نطبق المعادلة السابقة كالتالي: [مساحة الكرة = 4 × π × (3)2]، مما يعني أن مساحة الكرة تساوي 113.04 سم2.
يُمكنك أيضاً التعرف على:
