بحث رياضيات حول ضرب وقسمة العبارات النسبية لمستوى الصف الثاني الثانوي

يتناول هذا البحث موضوع ضرب وقسمة العبارات النسبية في الصف الثاني الثانوي. تظهر الأبحاث أن الأفراد الذين يتمتعون بفهم رياضي قوي يستطيعون تحفيز مناطق معينة من الدماغ بشكل أكثر فعالية، حيث يلاحظ أن لديهم كمية أكبر من المادة الرمادية في تلك المناطق بالمقارنة مع من يقل أداؤهم في الرياضيات.

تشير هذه النتائج إلى أن نفس مناطق الدماغ المسؤولة عن حل المسائل الرياضية تُستخدم أيضًا في عمليات اتخاذ القرارات والتفكير المنظم. تابعونا على موقع مقال للحصول على تفاصيل حول بحث رياضيات عن ضرب العبارات النسبية وقسمتها في الصف الثاني الثانوي.

ما هي العبارات النسبية؟

العبارة النسبية هي عبارة تتكون من بسط ومقام، حيث يحتوي كل منهما على تعبير رياضي، ويمكن أو تعد النسبة بين كثيرات الحدود تعبيرًا رياضيًا.

يُطلق على العبارات النسبية هذا الاسم لأنها تعبر عن النسبة بين عددين، مثلما يحدث عند قسم أحد الأعداد على الآخر. تُقسم العبارات النسبية إلى نوعين، النوع الأول يختص بالأعداد، بينما الثاني يتعلق بالمعادلات.

سوف نناقش في هذا البحث كيفية إجراء عمليات الضرب والقسمة على العبارات النسبية للصف الثاني الثانوي.

تبسيط العبارات النسبية

دعونا نبدأ باستعراض بعض القواعد الرياضية التي تمت دراستها سابقًا لتكون مرجعًا لنا:

القاعدة الأولى: تبسيط العبارات التي تمثل الفرق بين مربعين. القاعدة الثانية: تبسيط المعادلات من الدرجة الثانية.

مثال 1: تبسيط العبارة x² – 64

الحل:

نجد أن هذه العبارة مكتوبة على شكل (x² – a²)، وهي تطبيق لمفهوم “الفرق بين مربعين”. وباستخدام القاعدة المعروفة، يمكن تبسيط العبارة كالتالي:

(x² – a²) = (x – a)(x + a)

وبذلك، يصبح تبسيط المعادلة x² – 64 هو:

(x² – 64) = (x – 8)(x + 8)

مثال 2: تبسيط العبارة x² – 5x – 24

الحل:

إن هذه المعادلة مكتوبة على شكل (ax² + bx + c) والذي يُعبر عن مقدار من الدرجة الثانية.

لتبسيط هذا النوع، علينا العثور على عددين حاصل ضربهما يساوي (+c) وحاصل جمعهما يساوي (+b) في نفس الوقت. لذا نبحث عن عددين حاصل ضربهما هو -24 وحاصل جمعهما هو -5، وهذين العددين هما (3, -8):

3 = -24 × -8
-8 + 3 = -5

وبذلك، يصبح تبسيط المعادلة x² – 5x – 24 هو:

x² – 5x – 24 = (x – 8)(x + 3)

تابع أيضًا:

تبسيط العبارات النسبية

مثال 1: تبسيط العبارة (5x(x² + 4x + 3)) / ((x + 1)(x² – 9))

الحل:

لتبسيط هذه العبارة، يجب علينا أولاً تبسيط العبارات في البسط، ثم متابعة تبسيط العبارات في المقام.

من الواضح أن المقدار (x² + 4x + 3) يمكن تحليله إلى:

(x² + 4x + 3) = (x + 1)(x + 3)

أما بالنسبة للمقام، فإننا نجد (x² – 9) يتحلل إلى:

(x² – 9) = (x + 3)(x – 3)

لذا سيكون:

(5x(x² + 4x + 3)) / ((x + 1)(x² – 9)) = (5x(x + 1)(x + 3)) / ((x + 1)(x + 3)(x – 3))

بعد الاختصار:

(5x(x² + 4x + 3)) / ((x + 1)(x² – 9)) = 5x / (x – 3)

وهذه هي أبسط صورة.

مثال 2: تبسيط العبارة (4y(y – 3)(y + 4)) / (y(y² – y – 6))

الحل:

كما فعلنا سابقاً، سنقوم بتبسيط العبارات القابلة للتبسيط، بينما نترك غير القابلة كما هي:

بالنظر إلى البسط، نجد أنه يتكون من الحدود من الدرجة الأولى، لذا لا يمكن تبسيطه أكثر.

أما بالنسبة للمقام، فإن المقدار (y² – y – 6) يتاح له التبسيط إلى:

(y² – y – 6) = (y – 3)(y + 2)

لذا سيكون:

(4y(y – 3)(y + 4)) / (y(y² – y – 6)) = (4y(y – 3)(y + 4)) / (y(y – 3)(y + 2))

بعد الاختصار:

(4y(y – 3)(y + 4)) / (y(y² – y – 6)) = 4(y + 4) / (y + 2)

وهذه هي أبسط صورة.

عبارات نسبية غير معرفة

تكون العبارة النسبية غير معرفة عندما يكون المقام يساوي صفراً (a/b = غير معرفة)، أي عندما يكون b = 0.

مثال 3: ما القيم التي تجعل العبارة (x²(x² + 5x – 14)) / (4x(x² + 6x + 8)) غير معرفة؟

الحل:

كما ذكرنا، أي عبارة نسبية تكون غير معرفة إذا كان المقام يساوي صفراً. لإيجاد القيم التي تجعل المقام يساوي صفراً، يجب تبسيط المقام أولاً.

المقدار الذي يمكن تبسيطه في المقام هو (x² + 6x + 8) والذي يُمكن أن يُحلل إلى:

(x² + 6x + 8) = (x + 2)(x + 4)

وبالتالي يكون المقام غير معرف عندما:

x + 2 = 0 or x + 4 = 0 or 4x = 0

الآن نحل المعادلات الثلاثة كالتالي:

x + 2 = 0, x = -2
x + 4 = 0, x = -4
4x = 0, x = 0

وبذلك، القيم التي تجعل العبارة غير معرفة هي -2، -4، 0

تبسيط العبارات النسبية بإخراج (-1) كعامل مشترك

مثال 4: تبسيط العبارة ((4w² – 3wy)(w + y)) / ((3y – 4w)(5w + y))

الحل:

من خلال أخذ w كعامل مشترك في المقدار (4w² – 3wy) في البسط، تصبح العلاقة كالتالي:

((4w² – 3wy)(w + y)) / ((3y – 4w)(5w + y)) = (w(4w – 3y)(w + y)) / ((3y – 4w)(5w + y))

إذا نظرنا إلى المقدار (4w – 3y) في البسط، سنرى أن له مشابهة مع المقدار (3y – 4w)، مما يمكننا من اختصارهما معاً.

وبما أن المقدارين مختلفان في الإشارة، فإننا نستطيع أخذ (-1) كعامل مشترك واختصارهما كما يلي:

((4w² – 3wy)(w + y)) / ((3y – 4w)(5w + y)) = (w(-1)(3y – 4w)(w + y)) / ((3y – 4w)(5w + y))

بعد الاختصار:

((4w² – 3wy)(w + y)) / ((3y – 4w)(5w + y)) = (-w(w + y)) / ((5w + y))

وهذا هو الشكل الأبسط.

عبارات نسبية تتضمن كثيرات حدود في كل من بسطها ومقامها

في بعض الحالات، يتعين عليك تحليل البسط أو المقام أو كليهما قبل تبسيط نتيجة ضرب أو قسمة العبارات النسبية.

مثال 5: تبسيط العبارات (x² – 6x – 16) / (x² – 16x + 64) × (x – 8)/(x² + 5x + 6)

الحل:

بالإضافة إلى ذلك، سنقوم بتبسيط كل عبارة، كالمعتاد، العبارة الغير قابلة للتبسيط نتركها كما هي.

إذا نظرنا إلى المقدار (x² – 6x – 16) الذي يمكن تبسيطه إلى:

= (x – 8)(x + 2)

وإذا نظرنا إلى المقدار (x² – 16x + 64) يمكن أن يبسط إلى:

= (x – 8)(x – 8)

كما نجد أن المقدار (x² + 5x + 6) هو أيضاً من الدرجة الثانية، ويمكن تبسيطه كالتالي:

= (x + 2)(x + 3)

وبذلك، يمكن كتابة المعادلة على الشكل التالي:

(x² – 6x – 16)/(x² – 16x + 64) × (x – 8)/(x² + 5x + 6) = ((x – 8)(x + 2))/((x – 8)(x – 8)) × (x – 8)/((x + 2)(x + 3))

بعد الاختصار:

(x² – 6x – 16)/(x² – 16x + 64) × (x – 8)/(x² + 5x + 6) = (x + 2)/((x – 8)) × (x – 8)/((x + 2)(x + 3))

وبالتالي:

(x² – 6x – 16)/(x² – 16x + 64) × (x – 8)/(x² + 5x + 6) = (x + 2)(x – 8)/((x – 8)(x + 2)(x + 3))

بعد الاختصار:

(x² – 6x – 16)/(x² – 16x + 64) × (x – 8)/(x² + 5x + 6) = 1/((x + 2))

وهذه هي أبسط صورة للعبارة.