أبرز القوانين الأساسية في الرياضيات

أهم القوانين الخاصة بالمحيط والمساحة والحجم

وفيما يلي مجموعة من القوانين الأساسية التي تُستخدم في حساب المحيط، المساحة، والحجم:

قوانين المحيط

يمكن حساب محيط الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد الشهيرة باستخدام القوانين التالية:

محيط المربع = 4 × طول ضلع المربع.
محيط المستطيل = 2 × (طول المستطيل + عرض المستطيل).
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
محيط الدائرة = 2 × π × نصف قطر الدائرة.

قوانين المساحة

لإيجاد المساحة للأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد الرئيسية، يمكن استخدام القوانين التالية:

مساحة المربع = (طول الضلع)².
مساحة المستطيل = الطول × العرض.
مساحة المثلث = 1/2 × قاعدة × ارتفاع.
مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)².
مساحة شبه المنحرف = ((طول القاعدة العلوية + طول القاعدة السفلية) × الارتفاع) / 2.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن حساب المساحة لعدة أشكال هندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين التالية:

مساحة سطح المكعب = 6 × (طول الضلع)².
مساحة سطح الأسطوانة = 2 × π × نصف قطر قاعدة الأسطوانة × ارتفاع.
مساحة سطح المخروط = π × نصف قطر قاعدة المخروط × الارتفاع الجانبي.
مساحة سطح الكرة = 4 × π × (نصف القطر)².

قوانين الحجم

يمكن حساب حجم الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد المعروفة باستخدام القوانين التالية:

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.
حجم المخروط = (مساحة القاعدة × الارتفاع) / 3.
حجم الكرة = (4 × π × (نصف القطر)³) / 3.
حجم المكعب = (طول الضلع)³.
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.

أهم قوانين علم المثلثات

توجد مجموعة من القوانين الأساسية في علم المثلثات، من أبرزها:
- جيب الزاوية: جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية / الوتر.
- جيب تمام الزاوية: جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية / الوتر.
- ظل الزاوية: ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية / الضلع المجاور للزاوية.

أهم المتطابقات المثلثية (حيث س تمثل قياس الزاوية):
- جا²(س) + جتا²(س) = 1.
- ظا (س) = جا(س) / جتا(س).
- 1 + ظا(س)² = 1 / جتا²(س).

قانون جيب التمام (قانون الجتا): إذا كان هناك مثلث بغض النظر عن نوعه، فإن طول الضلع (أ) يمكن حسابه كالتالي:
- أ² = ب² + جـ² – 2 × ب × جـ × جتا(أَ)، حيث أَ تمثل الزاوية المقابلة للضلع (أ).

قانون الجيب: في مثلث تتوزع أضلاعه (أ، ب، جـ)، فإن:
- جا(أَ) / (أ) = جا(بَ) / ب = جا(جـَ) / جـ، حيث:
  - أَ: الزاوية المقابلة للضلع (أ).
  - بَ: الزاوية المقابلة للضلع (ب).
  - جـَ: الزاوية المقابلة للضلع (جـ).

قوانين倍 الزاوية، حيث س تمثل قياس الزاوية:
- جا (2س) = 2 × جا(س) × جتا(س).
- جتا(2س) = جتا²(س) – جا²(س).
- ظا(2س) = (2 × ظا(س)) / (1 – ظا²(س)).

أهم قوانين اللوغاريتمات

هناك مجموعة من القوانين الأساسية المرتبطة باللوغاريتم، ومن أهمها:

إذا كان أس = م، فإنّ لوأ(م) = س.
لوأ(1) = 0.
لوأ(أ) = 1.
لوأ(م × ن) = لوأ(م) + لوأ(ن).
لوأ(م / ن) = لوأ(م) – لوأ(ن).
لوأ(م^ن) = ن × لوأ(م).
لوأ(م) = لوب(م) × لوأ(ب).
لوب(أ) × لوأ(ب) = 1.

أهم قوانين الجذور

توجد مجموعة من القوانين المتعلقة بالجذور، ومن أبرزها:

(أ × ب)√ن = أ√ن × ب√ن، حيث دليل الجذر هو ن، وهذا ينطبق على جميع الأعداد.
أ√ن × ب√م = (أ^م × ب^ن)√(م×ن).
(أ / ب)√ن = أ√ن / ب√ن، بشرط أن لا تساوي ب صفر.
(أ√ن) ن = أ.
أ^م√ن = أ (م / ن).
(أ√ن)م = أ^م√ن.

أهم قوانين الأسس

وهنا مجموعة من القوانين المهمة المتعلقة بالأسس:

في حالة الضرب:
- أ م × أ ن = أ (م + ن).
- أ م × ب م = (أ × ب) م.
في حالة القسمة:
- أم / أن = أ (م – ن).
- أ م / ب م = (أ / ب) م.
الأس المرفوع لأس آخر:
- (أ م) ن = أ (م × ن).
الأس المرفوع إلى قوة صفر:
- أ 0 = 1.
الأس السالب:
- أ -ن = (1 / أ) ن.
الأس المرفوع لكسر:
- أ (ب / جـ) = أب√جـ.

أهم قوانين الجمع

فيما يلي أبرز القوانين المتعلقة بعملية الجمع؛ حيث تمثل أ، ب، جـ أعداداً حقيقية:

العنصر المحايد لعملية الجمع: هو صفر، مما يعني أن إضافة أي عدد إلى الصفر سيعطي نفس العدد؛ أي أ + 0 = أ.
النظير الجمعي: هو العدد الذي ينتج عند إضافته للعدد نتيجة تساوي صفر؛ أي أن النظير الجمعي للعدد أ هو -أ؛ لأن (أ) + (-أ) = 0.
الخاصية التجميعية: تعني أن (أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)؛ أي أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة عملية الجمع.
الخاصية التبادلية: تعني أن أ + ب = ب + أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الجمع.

ملاحظة: يمكن التعبير عن عملية الطرح (أ – ب) كالتالي: أ + (-ب).

أهم قوانين الضرب

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الضرب؛ حيث تمثل أ، ب، جـ أعداداً حقيقية:

العنصر المحايد لعملية الضرب: هو 1، مما يعني أن ضرب أي عدد في العدد 1 يعطي نفس العدد؛ أي: أ × 1 = أ.
النظير الضربي: يتمثل بمقلوب العدد، وهذا يعني أن النظير الضربي للعدد أ هو 1/أ، بشرط ألا تساوي أ صفراً؛ لأن حاصل ضرب العدد بمعكوسه دائماً يكون 1؛ أي أنّ: أ × (1/أ) = 1.
الضرب في الصفر: إن ضرب أي عدد في الصفر يُعطي نتيجة صفر؛ أي أنّ: أ × 0 = 0.
الخاصية التجميعية: تعني أن (أ × ب) × جـ = أ × (ب × جـ)؛ أي تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة عملية الضرب.
الخاصية التبادلية: تعني أن أ × ب = ب × أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الضرب.
قانون التوزيع: ينص على أن: أ × (ب + جـ) = أ × ب + أ × جـ.

ملاحظة: يمكن تمثيل عملية القسمة من خلال عملية الضرب كالتالي: أ / ب = أ × (1 / ب).

أهم قوانين الكسور

فيما يلي القوانين الخاصة بعمليات ضرب، جمع، طرح، وقسمة الكسور:

جمع الكسور: أ / ب + جـ / د = (أ × د + ب × جـ) / (ب × د).
طرح الكسور: أ / ب – جـ / د = (أ × د – ب × جـ) / (ب × د).
ضرب الكسور: أ / ب × جـ / د = (أ × جـ) / (ب × د).
قسمة الكسور: أ / ب ÷ جـ / د = (أ × د) / (ب × جـ).

أهم قوانين حساب الفائدة

يمكن حساب الفائدة وفقاً لنوعها باستخدام القوانين التالية:

قانون الفائدة المركبة: م = ب × (1 + ف / ت) ن × ت،

حيث أن:

ب: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه أو استثماره.
م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة بعد مدة القرض أو الاستثمار.
ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب تسجيلها كعدد عشري.
ت: عدد مرات احتساب الفائدة في السنة الواحدة.
ن: مدة القرض أو الاستثمار بالسنوات.

قانون الفائدة البسيطة: قيمة الفائدة البسيطة = المبلغ المقترض × نسبة الفائدة السنوية × عدد السنوات.

أهم قوانين الإحصاء

تُستخدم هذه القوانين لفهم مدى تباعد القيم في عينة ما عن قيمتها الأساسية أو عن بعضها البعض، وتشمل:

الوسط الحسابي = مجموع القيم / عددها.
الانحراف المعياري = √((القيمة – الوسط الحسابي)²∑/(عدد القيم-1)).
المدى = أعلى قيمة – أقل قيمة.
التباين = مربع الانحراف المعياري.

أهم قوانين التكامل

فيما يلي مجموعة من القوانين التي تُستخدم بشكل متكرر في علم التكامل:

∫ س ن ءس = (س(ن + 1) / (ن + 1)) + جـ؛ حيث جـ يمثل أي عدد ثابت، ويكتب دائماً إذا كان التكامل غير محدود، ءس تعني أن التكامل بدلالة المتغير س.
∫ (1 / س ن) ءس = -1 / ((ن – 1) × س (ن – 1)).
∫ (1/س) ءس = لوأ(س) + جـ.
∫هـ س ءس = هـ س + جـ، حيث هـ هو العدد النيبيري.
∫ أس ءس = أس / لوأ + جـ.
∫جاس ءس = -جتاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.
∫ جتاس ءس = جاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.

أهم قوانين الاشتقاق

الاشتقاق يمثل العملية العكسية للتكامل، وفيما يلي القوانين الهامة في هذا المجال:

اشتقاق الاقتران الثابت (ص = جـ) يساوي 0؛ حيث إن: ءص / ءس (جـ) = 0.
اشتقاق الاقتران الخطي مثل ق(س) = س، قَ(س) = 1؛ بشكل عام، اشتقاق الاقتران الخطي يساوي معامل س.
اشتقاق الاقتران التربيعي مثل: ق(س) = س²، قَ(س) = 2س.
اشتقاق الجذر التربيعي مثل: ق(س) = √س، قَ(س) = (1/2) × س^(-1/2).
اشتقاق الأس مثل:
- ق(س) = هـ^س، قَ(س) = هـ^س × لوأ(هـ).
- ق(س) = س^أ، قَ(س) = أ × س^(أ – 1).
اشتقاق اللوغاريتم مثل:
- ق(س) = لوأ(س)، قَ(س) = 1 / س.
- ق(س) = لوأ(س)، قَ(س) = 1 / (س × لوأ(أ)).
اشتقاق الاقترانات المثلثية (جا، جتا، ظا)، حيث س تمثل أي زاوية:
- ق(س) = جاس، قَ(س) = جتاس.
- ق(س) = جتاس، قَ(س) = -جاس.
- ق(س) = ظاس، قَ(س) = قا²س.
اشتقاق الأس:
- ق(س) = س ن، قَ(س) = ن × س^(ن – 1)، حيث ن تمثل الأس.

أهم قوانين المتباينات

أهم القوانين المتعلقة بالمتباينات هي:

إذا كان أ > ب، فإن أ – ب > 0.
إذا كان أ < ب، فإن أ – ب < 0.
إذا كان أ = ب، فإن أ – ب = 0.
إذا كان أ > (ب × جـ)، فإن (أ / ب) > جـ.
إذا كان أ < (ب / جـ)، فإن (أ × جـ) < ب.

قانون المسافة بين نقطتين

يمكن حساب المسافة بين نقطتين بالشكل التالي: إذا كانت إحداثيات النقطة الأولى (س1، ص1) والنقطة الثانية (س2، ص2)، فإن:

المسافة بين نقطتين = √[(س2 – س1)² + (ص2 – ص1)²]

قانون ميل المستقيم

الميل يعبر عن انحراف خط المستقيم عن محور السينات الموجب، ويمكن حسابه باستخدام القوانين التالية:

الميل = ظاθ؛ حيث θ تمثل الزاوية بين الخط المستقيم ومحور السينات الموجب.
لأي نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1) و (س2، ص2) تقعان على الخط المستقيم، فإن الميل = (ص2 – ص1) / (س2 – س1).
المعادلة على الصورة: ص = أس + ب، فإن الميل = معامل س؛ أي الميل = أ.

قانون نظرية فيثاغورس

يُستخدم هذا القانون في المثلثات قائمة الزاوية، وينص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة، وهو ما يمكن التعبير عنه في المعادلة التالية:

الوتر² = ضلع القائمة الأول² + ضلع القائمة الثاني²

حيث يشكل أحد ضلعي القائمة قاعدة المثلث، بينما الآخر يمثل الضلع العمودي عليها.

قانون النسبة المئوية

يمكن حساب النسبة المئوية باستخدام القانون التالي:

النسبة المئوية = (العدد المطلوب حساب النسبة المئوية له ÷ العدد الكلي) × 100%

وبالرموز:

ن = (أ / ب) × 100%

حيث أنّ:

ن: مقدار النسبة المئوية.
أ: العدد المطلوب حساب النسبة المئوية له.
ب: العدد الكلي.