تُعد النهايات والاشتقاق في الرياضيات من الأسس الجوهرية في مفهوم التكامل، وهو أحد فروع مادة الرياضيات التي تهتم بدراسة كيفية تغير الأشياء. تركز هذه المفاهيم على العمليات المرتبطة بالتغيير المستمر.
النهايات والاشتقاق في علم الرياضيات
- يمثل الاشتقاق أحد المبادئ الأساسية في علم التفاضل، حيث يختص بدراسة المفاهيم المتعلقة بالكميات الصغيرة، وقد بُني هذا المبدأ على دراسة اشتقاق الدالة.
- يهدف مفهوم النهايات إلى تحليل سلوك الدالة عندما تقترب القيم المتغير س من عدد معين، يتم التعبير عنها بالصيغ الرياضية كما يلي: نها ق (س) – أ، مما يعني نهاية الاقتران ق (س).
- عندما تقترب قيم س من قيمة أ، يعتبر هذا إشارة إلى أن قيمة أ تمثل الأعداد الحقيقية.
- يجب أن تكون النهاية موجودة، وأن يتم تعريف الاقتران ق (س) في فترة مفتوحة ذات طول قصير، كما هو مبين في (أ – ج، أ + ج)، حيث تمثل أ و (ج) أعداد حقيقية محددة.
- لا يشترط أن يتم تعريف ق(س) عند العدد أ، إلا أنه يتوجب توفر شرط أن تكون قيمة النهاية أثناء الاقتراب من أ من جهة اليسار مساوية لقيمتها من جهة اليمين.
- أما الاشتقاق فيمثل المشتق على الرسم البياني لدالة ذات مؤثرات متعددة، ويعكس عددًا من القيم الحقيقية عند نقطة معينة، ويُعرف بالمعامل الموجه للمماس.
- يتم التعبير عن المعدل الذي يتغير بموجبه قيمة س كنتيجة لتغير القيمة (ص)، وترتبط القيمتان بواسطة دالة رياضية.
طريقة حساب النهايات جبرياً
أولاً
- لحساب النهاية عند نقطة ما لإيجاد lim f (X)، نقوم بالتعويض المباشر حيث تكون النتيجة عدداً حقيقياً محدداً، أي lim f (x) = عدد.
- أما إذا كانت الصيغة غير محدودة، أي lim f (x) = 0÷0، ينبغي تحليل البسط والمقام لاختصار العامل المشترك، أو قد نقرر إلغاء البسط والمقام.
ثانياً
- تتعلق نهاية اللانهاية بنهاية كثيرة الحدود، والتي تصف سلوك المنحنى سواء كان متزايداً أو متناقصاً.
- عند معالجة نهاية الدوال النسبية عند اللانهاية، نقارن بين درجة البسط ودرجة المقام: إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، تكون النهاية غير محدودة.
- إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام، فإن النهاية تعادل المعامل الرئيسي في البسط مقسوماً على المعامل الرئيسي في المقام.
- وعند عدم تحقق الحالة السابقة، إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن النهاية تعادل صفر.
ثالثاً
- نهاية المتتابعات تعادل نهاية الحد المتتابع.
- يمكننا استخدام خاصية دالة المقلوب لحساب نهاية الدوال النسبية عن طريق قسمة كل حد من البسط والمقام على أعلى قوة لمتغير الدالة.
ما هي النهايات والاشتقاق؟
- تعد النهايات من مبادئ التفاضل، حيث تهتم بدراسة الاشتقاق من خلال التركيز على المفاهيم الأساسية للكميات المتناهية في الصغر.
- تم بناء التفاضل على مفهوم النهايات لدراسة اشتقاق الدالة، مما يعكس العلاقة القوية بين النهايات والاشتقاق.
- يرتبط الاشتقاق بالتغيرات التي تطرأ على الدالة، فهو يمثل السبب والنتيجة في مفهوم الحساب، مثلاً: 1 = X عندما Y=2، ما يعني أن X لن تساوي 1 إلا عندما Y=2 داخل دالة معينة.
خصائص النهايات
- نهاية مجموع اقترانين معاً تعادل مجموع نهايتهما بمفردهما، أي أن نها س – أ هو ق (س) + ع (س) = نها س – أ، وينطبق ذلك على ق (س) + نها (س) – أ ع (س).
- النهاية الثابتة تعادل الثابت نفسه، بمعنى أن نها س – أ ج = ج، وبالتالي إذا كان ج عدداً ثابتاً، فإن ناتج ضربه بالنهاية يمثل ناتج نهاية الثابت مضروباً بالاقتران.
- في الرياضيات، تعني نها س – أ ج X ق (س) = ج X نها س – أ ع (س)، حيث تعتبر ق (س) X نها س – أ ق(س) X نها س – أ ع (س).
- توزع النهايات على عملية القسمة على نحو نها س – أ ق (س) / ع (س) = نها س – أ ق (س) نها س – أ ع (س)، مع شرط أن لا تساوي نها س – أ ع (س) الصفر.
- نهاية الاقتران المرفوع لأس تعادل ناتج رفع النهاية نفسها لنفس الأس.
- وفقاً للصيغة الرياضية، نها س – أ ق (س) ن = نها س – أ ق (س) ن، كما تعني نها س – أ س = أ، مما يدل على أن نهاية الاقتران ق (س) = س عند اقتراب قيمة س من القيمة الأساسية أ.
- تُوزع النهايات على عملية الضرب كما هو موضح: نها س← أ ق(س)×ع(س) = نها س← أ ق(س)×نها س← أ ع(س).
كيفية حساب النهايات
هناك عدة طرق لحساب النهايات، وهي:
الطريقة الأولى
- تتمثل طريقة التعويض في تعويض القيمة التي تقترب منها س في الاقتران كما ذُكر سابقاً، ويمكن إستخراج قيمة ق(أ) لتحديد ناتج النهاية.
- مثال على طريقة التعويض: لإيجاد قيمة نها س←6 (س²-6س+8) /(س-4)، نقوم بدلاً من ذلك بالتعويض عن (6) في الاقتران، وبالتالي ننتهي بالناتج ق (6) = ((6)² – (6×6) + 8) / (6-4) = 3، مما يعني أن نها س← 6 (س²-6س+8) /(س-4) = 3.
الطريقة الثانية
- تتضمن طريقة التحليل إلى العوامل تحليل البسط أو المقام أو كليهما إلى عوامل، ثم اختصار العوامل المشتركة بينهما.
- يُحصل على قيمة النهاية عبر التعويض بعد التحليل.
- مثال: نها س←5 (س²-6س+8) /(س-4) من خلال التعويض عن (5) في الاقتران، نحصل على قيمة صفر÷ صفر، وبالتالي يجب اتباع طريقة التحليل.
- بعد التحليل: نها س←5 (س²-6س+8) /(س-5) = نها س←5 (س-5) (س+2) /(س-5). عند اختصار (س – 5) من البسط والمقام نحصل على: نها س←5 (س-2)، ثم نتبع طريقة التعويض لنصل إلى ق(5) = 5-2 = 3، مما يعني أن قيمة نها س← 5 (س²-6س+8) /(س-5) = 3.
الطريقة الثالثة
- تُستخدم طريقة الضرب بالمرافق عند وجود جذر تربيعي في البسط وكثير الحدود في المقام، حيث نلجأ إليها عند فشل التعويض في التوصل لنتيجة غير محددة.
- عبر ضرب كل من البسط والمقام بمرافق الجذر يمكن الاستفادة من خاصية (عدد√ × عدد√ = عدد بدون جذر).
- مثال: نها س←13 ((س-4) √-3)/(س-13)، يتم ضرب البسط والمقام بـ ((س – 4)√ + 3). بعد تجميع الحدود وتبسيطها نحصل على: نها س←13 (س-13) / (س-13)×(س-4)√ + 3).
- عند اختصار (س-13) من البسط والمقام، نحصل على نها س←13 1/((س-4) √ + 3) ثم نعوض عن (13) في الاقتران لنحصل على 1/6.
- بذلك، يظهر أن نها س←13 ((س-4) √ – 3)/(س-13) = نها س←13 1/((س-4) √ + 3) = 1/6.
الطريقة الرابعة
- تُستخدم طريقة توحيد المقامات في حالة عدم نجاح كل من التعويض والتحليل عند وجود كسر في البسط، ولكن لا يوجد جذر تربيعي في المقام.
- مثال: نها س←0 [(1/(س+6)) – (1/6)]/س، نقوم بتوحيد المقامات للكسر.
- وبذلك، نجد: نها س←0 (6 – (س + 6)) /(6 × (س + 6)) ÷ س = نهاس←0 -س / 6(س+6) ÷ س = نهاس←0 -1 / 6 × (س + 6).
- بعد ذلك، نعوض عن س=0لنحصل على: نها س←0 [(1/(س+6)) – (1/6)]/س = نهاس←0 -1 / 6 × (س + 6) = -1/36.
- قانون لوبيتال يُستخدم عندما نفشل في إيجاد الحل باعتماد التعويض، ويكون ذلك عبر اشتقاق الاقتران؛ مثال: نها س← أ ق(س)/د(س) = نها س← أ قَ(س)/دَ(س).
- بتطبيق ذلك، نجد أن نها س←0 هـ س-1 – س – س²/2 ÷ س³ من خلال اشتقاق كل من البسط والمقام نحصل على الناتج نها س←0 هـ س-1 – س ÷ 3 س.
- وباشتقاق كلا البسط والمقام، نجد أن الناتج هو نها س←0 هـ س ÷ 6، ومن ثم نعوض عن قيمة س=0 ليكون الناتج نها س←0 هـ س ÷ 6 = 1/6.
أهمية الاشتقاق والنهايات
- تمتلك كل من الاشتقاق والنهايات أهمية بارزة في حياتنا؛ حيث يعتبر التفاضل والتكامل من العلوم الضرورية التي تستخدم في معظم مجالات الحياة.
- يرتبط كل من التكامل والتفاضل ارتباطاً وثيقاً بعلم الفيزياء والميكانيكا، حيث يُعتبر ذلك دليلاً واضحاً من خلال التطبيقات الواقعية، على سبيل المثال، قياس الزمن الذي يحتاجه خزان مائي للتفريغ عند وجود ثقب.
- كما يمكننا تحديد سرعة أي مركبة في أي لحظة باستخدام هذه العلوم.
تاريخ النهايات
- تاريخ النهايات يرتبط بالحاجة إلى وسائل تستخدم لحساب الأطوال والمساحات والأحجام.
- في العصور القديمة، كان مفهوم النهايات يتطور من خلال الاستنباط الذي تمت ممارسته في العصر اليوناني القديم، حيث كان أرخميدس من أوائل من استخدم هذه الأفكار لحساب مساحة الدائرة.
التفاضل والتكامل في العصور الوسطى
- في عصر ابن الهيثم، تم استنتاج قيمة لصيغة مجموع القوى الرابعة، واستخدمت النتائج بهدف تنفيذ تكامل لهذه الوظيفة لحساب حجم القطعة المكافئ.
- في القرن الرابع عشر، قام علماء الرياضيات في الهند بتطوير طريقة تشبه التمايز؛ التي كانت تنطبق على بعض الدوال المثلثية.
- أصبحت هذه النظرية معروفة على نطاق واسع تحت اسم سلسلة تايلور أو السلسة التقريبية اللانهائية.
- ومع ذلك، لم يتمكنوا من دمج العديد من الأفكار المختلفة داخل إطار موحّد يتعلق بالمشتق والمتكامل.
للمزيد من المعرفة، يُرجى الضغط هنا:
