دراسة شاملة حول المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

يتناول هذا البحث موضوع المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية بشكل شامل. سنتطرق إلى خصائص وأنواع المتتابعات والمتسلسلات بشكل تفصيلي.

تُعتبر هذه الموضوعات من الجوانب الهامة في علم الرياضيات، لا سيما بالنسبة للطلاب في المراحل الإعدادية والثانوية. ورغم أن الموضوع قد يبدو معقدًا، إلا أنه يصبح أسهل عند تقديمه بلغة بسيطة ومرنة. سيتناول البحث كل نوع من هذه المتتابعات مع تقديم أمثلة توضيحية.

مقدمة عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

تُعد المتتابعات نقطة انطلاق مهمة للبناء الرياضي، حيث تُستخدم في العديد من التطبيقات الرياضية التي تلعب دورًا أساسياً في استنتاجات تخدم العلوم الأخرى. في هذا البحث، سنعرّف المتتابعات والمتسلسلات، حيث نجد أنها تنقسم إلى نوعين رئيسيين: المتتابعات الحسابية والمتتابعات الهندسية، اللذان يُعتبران الأكثر شيوعًا في هذا المجال.

ما هي المتتابعة؟

تعرف المتتابعة بأنها مجموعة من الأعداد تتبع نمطًا معينًا، حيث يكون لكل عدد علاقة معينة مع ما قبله وما بعده. غالبًا ما تتبع المتتابعات ترتيبًا خاصًا، ويُطلق على كل رقم فيها اسم “رقم الحد”.
مثال على المتتابعات: لنفترض أن لدينا صناديق متتالية تحتوي على كرات. يعتبر ترتيب الصناديق هو رقم الحد، بينما يُعتبر عدد الكرات الموجودة داخل كل صندوق هو قيمة الحد.
كمثال آخر، إذا كان لدينا قطار يضم عشرين عربة، وعدد الركاب في كل عربة هو عدد الحدود، فمثلاً: في العربة رقم 15 يوجد حوالي 12 راكب؛ وهنا، رقم 15 هو رقم الحد و12 هو قيمة الحد.

أنواع المتتابعات

متتابعات منتهية: وهي المتتابعة التي عدد حدودها يعبر عنه بالرمز n. مجالها يكون كما يلي: { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، … ، n }، ومجالها المقابل هو ح.
متتابعات غير منتهية: وهي دالة توجد في مجال الأعداد الطبيعية، ويرمز لها بالرمز ط، ومجالها المقابل هو الأعداد الحقيقية التي ترمز بالرمز ح.

ما هي المتسلسلات؟

المتسلسلة تُعرَّف بأنها مجموعة من حدود المتتابعة، حيث تتطلب وجود متتابعة. وقد تناولنا تعريف المتتابعة سابقًا، لذا لفهم المتسلسلة يجب تطبيق المعلومات المعنية بالمتتابعات.

يمكن اعتبار المتسلسلات عبارة عن جمع الحدود الموجودة في المتتابعة، وهي تتكون من أعداد متسلسلة أيضًا، كما هو الحال في المتتابعات.

تعريف المتتابعات الحسابية

تُعرف المتتابعة الحسابية، سواء كانت منتهية أم غير منتهية، على أنها تتزايد بفرق ثابت؛ حيث يكون الفارق بين أي حدين متتاليين ثابتًا.
يشير الرمز r إلى الفرق الثابت (الأساس) للمتتابعة، بينما تُحسب الحدود باستخدام القانون التالي: الحد النوني (ن) يساوي الحد الأول مطروحًا منه 1، و r هو الفرق الثابت.
لتحديد ما إذا كانت المتتابعة حسابية، يتم حساب الفرق بين الحدود بالقانون التالي: (a2-a1) ، (a3-a2) ، (a4-a3). إذا كانت جميعها متساوية، فإن المتتابعة تكون حسابية، وإذا لم تكن متساوية، فإنها لا تعتبر كذلك.
تُبدَأ المتتابعات المنتهية بصيغة {1، 2، 3، …، الم}، بينما تُعبر المتتابعات غير المنتهية بصيغة: ط ← ح.
تكون المتتابعة الحسابية {حن} إذا كان الفرق د ثابتا، وهذا يعني أن د = حن + 1 – حن لجميع قيم ن.

أمثلة على المتتابعات الحسابية

مثال: هل المتتابعة التالية {حن} = {15، 11، 7، 3، …} متتابعة حسابية؟ لنبدأ بحساب الفارق الثابت بين الحدود والذي يساوي 4، مما يدل على أنها حسابية.
مثال آخر: لنحدد الحد الثالث عشر في المتتابعة الحسابية {1، -3، -7، -11، …}. الحل هو: الأساس = (-3 – 1) = -4، إذن (حن) = 1 + (13 – 1) × -4 = 1 + (-48) = -47.
مثال إضافي: إذا كانت مجموع الحدود الثلاثة المتتالية في متتابعة حسابية ما يساوي 6، وكان حاصل ضربها يساوي -42، فإن الحدود تكون {-3، 2، 7}.

ملاحظات حول المتتابعة الحسابية

الحد النوني للمتتابعة الحسابية يُحسب بواسطة: حن = أ + (ن – 1) د، حيث أ هو الحد الأول، ود هو الأساس.
الأوساط الحسابية بين العددين أ وب تُعتبر حدوداً للمتتابعة، حيث أ هو الحد الأول وب هو الحد الأخير.
مثال: لنحلل المتتابعة {حن} = {15، 11، 7، 3،…} هل هي حسابية؟ الجواب: نعم، لأن حن + 1 – حن = 4.
مثال آخر: لنعثر على الحد الثالث عشر في المتتابعة الحسابية {1، -3، -7، -11، …}. الأساس (د) = -3 – 1 = -4، وبما أن (أ) = 1، فإن ح13 = 1 + (13 – 1) × -4 = -47.
مثال: أدخل خمسة أوساط حسابية بين العددين -13 و 245. الحل سيكون: أ = -13 ، حن = 245 ، ن = 7 ، د = ؟ من خلال الصيغة، حن = أ + (ن – 1) د، 245 = -13 + (7 – 1) × د، إذن د = 43، وبالتالي الأوساط هي: 30، 73، 116، 159، 202.

المتتابعات الهندسية

تُعرف المتتابعات الهندسية بأنها متتابعة منتهية أو غير منتهية، حيث تُسمى بـ “الهندسية” في حال كانت هناك قيمة ثابتة، بحيث يكون ناتج قسمة أي حد لاحق على الذي يسبقه متساويًا مع هذا الثابت.
يمكن استخدام الرمز r للإشارة إلى هذا الثابت.
لاستخراج أي حد في المتتابعة الهندسية، يُستخدم القانون: الحд النوني = الحد الأول × (r^(ن – 1)).
لتحديد ما إذا كانت المتتابعة هندسية أم لا، يمكن فحص النسب: (a2/a1)، (a3/a2)، و(a4/a3). إذا كانت هذه النسب متساوية، فإن المتتابعة تكون هندسية.
إذا كانت (a2/a1) ≠ (a3/a2) ≠ (a4/a3)، فإن المتتابعة تعتبر غير هندسية.
مثال: لنتحقق من كون المتتابعة {3، 6، 12، …} هندسية. إذ أن النسبة بين الحدود ثابتة، إذ (6/3) = (12/6) = 2.
مثال آخر: لنحسب الحد العاشر في المتتابعة {2/1 ، -2 ، 1 ، …}. هذه المتتابعة هندسية، النسبة الثابتة هي (-1 ÷ (2/1)) = -2، وبالتالي (ح10) = (2/1) × (-92) = 256.

ملاحظات عن المتتابعات الهندسية

الحد النوني للمتتابعة الهندسية يُحسب باستخدام المعادلة: حن = أ ر^(ن – 1)، حيث أ هو الحد الأول، ر هو الأساس.
تكون الأوساط الهندسية بين العددين أ وب حدوداً للمتتابعة، حيث حدها الأول هو أ وآخرها هو ب.
إذا كانت الأعداد أ وب وج عناصر لمتتابعة هندسية، فإن ب هو الوسط الهندسي، أي أن ب = (+ أو -) الجذر التربيعي لـ (أ × ج).

تمارين عن المتتابعة الهندسية

احسب عدد الحدود المحصورة بين 13 و100 بحيث كلحد يقبل القسمة على 6. (ن = 14 حداً والحد الأخير = 96. الحل: المتتابعة هندسية مع الأساس ر وتُمثل بالصيغة حن + 1 ÷ حن).
مثال: تحقق مما إذا كانت المتتابعة التالية هندسية أم لا: 3، 6، 12، …؟ إن المتتابعة هندسية لأن حن + 1 ÷ حن = 2.

استخدامات المتتابعات

تتضمن المتتابعات مجموعات من الأعداد تتبع نمطًا معينًا، وتستخدم في عدة عمليات ترتبط بالبناء الرياضي والتطبيقات المختلفة.
على سبيل المثال، تُستخدم المتتابعات في جدولة الديون المتبقية، كما تُستخدم في حساب الأقساط وغيرها من العمليات مثل العمليات البنكية.

خاتمة البحث عن المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية

لقد وصلنا إلى نهاية هذا البحث الذي تناولنا فيه عددًا من الأمثلة على المتتابعة الحسابية وقدمنا شروحات حول المتتابعات الهندسية.

كما تم تناول العديد من الجوانب المتعلقة بهذا الموضوع، حيث قدمنا أمثلة وأسئلة مع حلولها لتيسير فهم القارئ وإيصال المعلومات بشكل واضح.