دراسة موجزة حول مفهوم الدوال المقلوبة

مراجعة شاملة حول دوال المقلوب

في هذه المراجعة، نتناول بإيجاز دوال المقلوب، حيث يتواجد العديد من الأنواع مثل الدوال المقلوبة، والدوال النسبية، والدوال المتغيرة. سنسلط الضوء أيضًا على كيفية تمثيل هذه الدوال بيانيًا.
تُعبر دالة المقلوب بوضوح عن قيمة العنصر (X) بطريقة معينة، وتظهر كالتالي: (f(x)=1/x).
يمكننا استخدام صيغة أخرى أيضًا للصياغة (f(x)=[a/(X-b)]+c).
في هذه المعادلة، تمثل (a, b, c) أرقامًا متغيرة تُستخدم لتحديد خطوط التقارب الخاصة بالدالة، بالإضافة إلى نطاق الدالة ومدىها.
أيضًا، نُحدد إحداثيات تقاطع الدالة مع محور الإحداثيات عند رسمها بيانيًا.

يمكنك قراءة المزيد من هنا:

خصائص دوال المقلوب

عند مناقشة خصائص دوال المقلوب، يتطلب الأمر تحديد العناصر الأساسية مثل: خطوط تقارب الدالة، مجالها، ومدىها.

لتبسيط ذلك، نقدم المثال التالي:

مثلاً: f(x) = 2/(X-3) + c حيث (a=2, b=3, c=0).

مثال آخر هو:

ص(س) = 3/(س-4) حيث تكون (أ=3، ب=4، ج=0).

لا تفوت قراءة مقالنا حول:

تمثيل الدوال بيانيًا

المعادلة المذكورة أعلاه تُستخدم لتمثيل دالة المقلوب بيانيًا، ولكن نبدأ أولاً بتحديد القيم في جدول البيانات، والذي يكون في البداية فارغًا.

بعد ذلك، نقوم بتطبيق المعادلة ونعبر عن القيم في الجدول باستخدام الرموز، على سبيل المثال:

نقوم بالتعويض عن قيمة (X=0) في المعادلة (Y=-3/4).
نستكمل الجدول بعد تحديد قيم (Y) لكل قيم (X) المتاحة.
وبذلك، لا تُعتبر دالة المقلوب معرفة عند أصفار المقام.
نحدد القيم (X) التي تؤدي إلى مقام صفري.
من خلال تطبيق المعادلة، يمكننا استنتاج خصائص دوال المقلوب.

تحديد مجال ومدى دالة المقلوب

لتحديد مدى الدالة ومجالها، يجب أن نتناول معنى كل منهما كما يلي:

المجال: باستخدام المعادلة ({R-{4)، نستطيع تحديد قيم (X) المتاحة، مما يعني أنها تشمل جميع الأعداد الحقيقية باستثناء القيمة التي تجعل (X) تساوي صفر، أي العدد 4.
أما المدى: باستخدام المعادلة ({R-{0)، يتم تحديد قيم (Y)، حيث نعرف أن جميع الأعداد الحقيقية موجودة ما عدا تلك التي تجعل (Y) قيمة صفريّة.

أشكال دوال المقلوب

يمكن تصنيف دوال المقلوب إلى شكلين رئيسيين: الدالة الأم ودالة الأبناء، وسيتم توضيحهما في الفقرات التالية.

1_ الدالة الأم

شكلها العام هو “f(x)=1/x”.
تظل جميع عناصرها ثابتة، ونقطة التماثل تساوي صفرًا.
مجال ومدى الدالة كلاهما صفر.
خط التماثل العمودي هو (X=0)، وخط التقارب الأفقي هو (Y=0).

2_ دالة الأبناء

اتجاه شكل المنحنى يتحدد عبر دالة الأبناء.
إذا كانت قيمة الدالة أكبر من 1، فإن الدالة تمتد رأسيًا.
أما إذا كانت القيمة أقل من 1، فإن الدالة تتقلص رأسيًا.
الشكل العام لدالة الأبناء هو ‘f(x)=a/x-h+k’.
لا يتغير شكلها عند كون قيمتها 1.
(h, k) في المعادلة يمثلان نقطتي التماثل التي يتقاطع عندها خطوط التقارب، حيث يمثل (h) مجال الدالة.
الكلمة (k) تشير إلى مدى الدالة، مع خط التقارب الأفقي (Y=k) وخط التقارب العمودي (X=h).
أما بالنسبة لموقع التقاطع مع محوري الإحداثيات، يحدث التقاطع لمنحنى الدالة مع محور X، ولا يحدث مع محور Y.

العلاقات والدوال

القانون الذي يربط بين مجموعة من المدخلات والمخرجات يسمى بالعلاقة، ويمكن تصنيفها إلى علاقات منطقية وأخرى غير منطقية.
ما يميز الدالة هو وجود قيمة واحدة فقط لكل مدخل مرتبط بمخرجه.
إذا كان هناك أكثر من قيمة لمخرج واحد مرتبط بمدخل محدد، فلن تعتبر هذه العلاقة دالة رياضية.

أنواع الدوال

تتميز الدوال الرياضية بتنوعها بناءً على العديد من الخصائص، حيث يمكن تصنيفها إلى أنواع متعددة.

بالاعتماد على المُتغيِّر (أ) كمعامل (س) و(ب) كعدد ثابت، نذكر بعض أنواع الدوال التالية:

الخطية: يمكن كتابتها بالصورة: ق(س)=أ×س+ب.
التربيعية: يمكن تصنيفها بالشكل التالي: ق(س)=أ×س2+ب.
اللوغاريتمية: يمكن كتابتها كالتالي: ق(س)=لو(ن)س، حيث يمثل المتغير (ن) أي عدد حقيقي أكبر من صفر ما عدا العدد 1.
الدالة التكعيبية: تعرف بالصورة: ق(س)=أ×س3+ب.
دالة المقلوب: يمكن كتابتها كالتالي: ق(س)=1/س.
دالة القيمة المطلقة: يمكن تمثيلها بالشكل: ق(س)=|س|.

التمثيل البياني للدوال

هناك العديد من الطرق والأساليب التي نستطيع من خلالها تمثيل الدوال بيانيًا، ومن هذه الطرق:

استخراج قيم ق(س) العديدة، التي تعكس قيم المتغير (س).
استخدام ورقة لرسم المستوى الديكارتي، مع الأخذ في الاعتبار أن الخط الأفقي يمثل القيم (س).
بينما الخط العمودي يمثل قيمة ق(س) المقابلة.
وضع الأرقام المناسبة على المستوى الديكارتي بحيث تكون الأرقام الموجبة إلى أعلى محور ق(س) والجانب الأيمن لمستوى (س).
وضع النقاط على محور ق(س)، وهو الموقع الذي تتقاطع فيه قيم المتغير (س) مع قيم (ق(س)).
ربط هذه النقاط معًا.
رغم تنوع الدوال الرياضية، إلا أنها تندرج تحت العلاقات الرياضية المنطقية.
يميز الدوال أنها تحتوي على صورة واحدة فقط لكل قيمة مدخلة (س) مرتبطة بقيمة (ق(س)).
توجد علاقات رياضية عديدة أخرى، من بينها المتباينات.

بحث حول الدوال الأسية

الدالة الأسية تدل على دالة رياضية يمكن تمثيلها بالمعادلة ق(س)=أ×سن.
حيث يُمثل الرمزان (أ) و(ن) أعداد ثابتة تنتمي إلى مجموعة الأرقام الحقيقية.
تتضمن هذه المجموعة الأعداد النسبية والأعداد الصحيحة بجانب جميع الأعداد غير الكسرية.
أحد الأمثلة على الدالة الأسية هي قوانين (مساحة الدائرة، حجم الكرة) نظرًا لاستخدام متغيرات ذات أس تربيعي أو تكعيبي.

خصائص الدوال والمتباينات

تمتلك الدوال الرياضية العديد من الخصائص الهامة، وسنستعرض بعضها أدناه:

تمتاز الدوال الزوجية بمتماثلها حول محور الصادات في الرسم البياني؛ حيث يظهر أحد أجزاء الرسم كإنعكاس على الآخر عند خط التماثل.
الدالة المُتزايدة تختص بزيادة قيمة المتغير الأول مع زيادة المتغير الثاني ضمن مجال محدد، بينما الدالة المُتناقصة تتسم بانخفاض قيمة أحد متغيراتها مع انهيار قيمة المتغير الثاني.
الدوال المُتباينة تُظهر توافقًا بين كل قيمة من المتغير الأول والمتغير الآخر، دون أن تُظهر أي قيمة لأي من هذه المتغيرات لأكثر من قيمة واحدة من المتغيرات الأخرى.