بحث شامل عن كيفية جمع وطرح العبارات النسبية

إن الرياضيات تكتسي أهمية بالغة في حياتنا اليومية، حيث نستخدم المفاهيم الرياضية والمهارات المكتسبة من حل المسائل الرياضية دون أن ندرك ذلك.
تعد معرفة القوانين الرياضية ضرورة محورية لفهم العالم من حولنا، إذ قد يواجه الأفراد صعوبات كبيرة إذا لم يتقنوا هذه العلوم.
ومن المواضيع المهمة في علم الرياضيات هي العبارات النسبية.

يمكنكم زيارة موقع مقال للاطلاع على معلومات مفيدة حول جمع العبارات النسبية وطرحها.

مفهوم العبارات النسبية

تعرف كثيرات الحدود بأنها تعبيرات تتكون من مجموع من الحدود، وفي الأساس، تعتبر العبارات النسبية ناتجاً من كثيرات الحدود.
وبالتالي، تمثل العبارات النسبية كسراً يتكون من بسط ومقام يتألفان من كثيرات الحدود، مما يجعلها تعبر عن النسبة بين هذين الكميتين.

يشار إلى العبارات النسبية بهذا الاسم لأنها تعبر عن النسبة بين عددين، حيث يتم تقسيم أحدهما على الآخر.

تنقسم العبارات النسبية إلى قسمين: القسم الأول يتعلق بالأعداد، بينما يتناول القسم الثاني المعادلات.
في هذا البحث، سنستعرض كيفية جمع وطرح العبارات النسبية.

البحث عن المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

قبل البدء في عمليات جمع وطرح العبارات النسبية، علينا أولاً معرفة كيفية حساب ما يُعرف بالمضاعف المشترك الأصغر (LCM).

خطوات حساب المضاعف المشترك الأصغر بين الأعداد

وفقاً للقواعد، لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين، يجب تحليل هذين العددين إلى عوامل أولية.
بعد ذلك، نقوم بضرب العوامل ذات الأس الأكبر.

مثال: احصل على (LCM) للأعداد التالية:

6، 9

الحل:

أولاً، نقوم بتحليل العددين إلى عواملهما الأولية، ومع استخدام آلة حاسبة يمكنك تحويل الأعداد إلى عواملهما الأولية كالتالي:

6 = 2 × 3
9 = 3²

بعد ذلك، نقوم بضرب العوامل ذات الأس الأكبر.
سنبدأ بأول عامل من عددي 6، وهو 2، ونعلم أن هذا العدد لم يتكرر في تحليل العدد 9، لذا سنحتفظ به.

ثم نأخذ العامل الثاني، وهو 3، وبما أنه ظهر في تحليله لكل من العددين، يجب اختيار العنصر ذو الأس الأكبر، وهو 3² في هذه الحالة.

وعليه يكون الناتج النهائي لـ LCM هو:

LCM = 2 × 3² = 18

بالنسبة للعددين 6 و9 و15، نحلها كما يلي:

تحليل الأعداد إلى عوامل أولية:

6 = 2 × 3
9 = 3²
15 = 3 × 5

هنا، نختار العدد 2، ثم العدد 3²، وأيضًا العدد 5، وبالتالي يكون:

LCM = 2 × 3² × 5 = 90

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لكثيرات الحدود

يمكن تحديد LCM لكثيرات الحدود من خلال التحليل.

مثال: احصل على (LCM) للأعداد التالية:

6س ص، 15س²، 9س ص^4

الحل:

علينا تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية، باختيار الأعداد غير المتكررة ذات الأس الأكبر، مثل 2، 3، 5، س²، وص^4، ثم نقوم بضربها كالتالي:

LCM = 2 × 3 × 5 × س² × ص^4 = 90 س² ص^4

3ص² – 9ص، ص² – 8ص + 15

الحل:

نقوم بتحليل للعبارات كما التالي:

3ص² – 9ص = 3ص (ص – 3)
ص² – 8ص + 15 = (ص – 5)(ص – 3)

نختار الأعداد ذات الأس الأكبر وهي 3، ص، (ص – 3)، (ص – 5)، وحساب الناتج يكون كالتالي:

LCM = 3ص(ص – 3)(ص – 5)

جمع العبارات النسبية وطرحها

نعتمد في خطوات الحل على طريقتين أساسيتين:

1. حساب (LCM) للمقامات.

2. توحيد المقامات لكلا العبارتين النسبيتين.

أولاً، لنأخذ مثالاً لجمع عبارات نسبية وحيدة الحد:

مثال: بسط العبارة (3/2س³ + 5ع/(ص² + 8س)

الحل:

إيجاد LCM للمقامات

2س³ = 2 × س³

8س ص² = 32 × س ص²

وبالتالي، يكون LCM = 32 × س³ × ص² = 8س³ ص²

توحيد مقامات العبارتين النسبيتين

نظراً لاختلاف المقامات، نقوم بتوحيد المقامات من خلال قسمة LCM على كلا المقامين:

(ص² + 8س³)/2س³ و(ص² + 8س³)/(ص² + 8س)

ثم نضرب نتائج القسمة مع كل من البسطين، ليكون:

4ص² × 3ص = 12ص³
س² × 5ع = 5س²ع

وبالتالي، يحصل تبسيط العبارة النسبية كالتالي، حيث يكون البسط هو نتيجة جمع 12ص³ مع 5س²ع، بينما يكون المقام المشترك هو قيمة LCM. إذن، يكون حل المثال النهائي:

طرح العبارات النسبية وحيدة الحد

مثال: بسط العبارة (1/(ص(3-18س) – 7ص/(12س)

الحل:

إيجاد LCM للمقامات

12س = 2² × 3 × س

18س ص³ = 2 × 3² × س ص³

وبالتالي، فإن LCM = 2² × 3² × س ص³ = 36 س ص³

توحيد مقامات العبارتين النسبيتين

بسبب اختلاف المقامين، نقوم بتوحيد المقامات من خلال قسمة قيمة LCM على كل من المقامين:

ثم نضرب نتائج القسمة مع البسطين للحصول على:

3ص³ × 7ص = 21ص⁴
2 × 1 = 2

وبذلك نحصل على تبسيط العبارة كالتالي: يكون البسط هو حاصل جمع 21ص⁴ مع 2، بينما المقام المشترك هو قيمة LCM، وبالتالي يكون حل المثال النهائي:

جمع أو طرح عبارات نسبية ذات كثيرات الحدود

سأكتفي بمثال واحد حيث أن طريقة الحل موحدة.

مثال: بسط العبارة (1 – س)/(6 + 14س – 4س²) – 5/(18 – 6س)

الحل:

إيجاد LCM للمقامات

6س – 18 = 6(س – 3) = 2 × 3 × (س – 3)

4س² – 14س + 6 = 2(س² – 7 + 3) = 2(س – 3)(س – 0.5) = 2(س – 3)(2س – 1)

وبذلك، فإن LCM = 3 × 2 × (س – 3)(2س – 1)

توحيد مقامات العبارتين النسبيتين

مع عدم تماثل المقامات، نقوم بتوحيد المقامات عن طريق قسمة قيمة LCM على كلا المقامين على حدى:

وسنقوم بضرب نتائج القسمة مع البسطين للشكل التالي:

2س – 1 × 5 = 10س – 5
3 × (س – 1) = 3س – 3

وبذلك يكون لدينا تبسيط العبارة النسبية كالتالي: حيث يكون البسط هو حاصل جمع 10س – 5 مع 3س – 3.

أما المقام المشترك فسيكون هو قيمة LCM، وبالتالي الحل النهائي سيكون: 3 – 3س