يُستخدم المتوسط الحسابي والانحراف المعياري في علم الإحصاء لتقييم كيفية توزيع البيانات حول القيمة المتوسطة. حيث يُعبر المتوسط الحسابي عن القيمة الوسيطة في مجموعة معينة، ويتم حسابه من خلال جمع جميع القيم في تلك المجموعة ثم قسمة الناتج على عدد القيم الكلي، كما أنه يُستخدم بشكل شائع في العديد من جوانب الحياة اليومية.
المتوسط الحسابي والانحراف المعياري
لحساب الانحراف المعياري، نبدأ بحساب الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، ثم نرفع هذا الفرق إلى الأس الثاني. بعد ذلك، نجمع جميع النتائج ثم نقسمها على عدد القيم، وأخيراً نأخذ الجذر التربيعي للناتج.
على سبيل المثال، إذا كان المتوسط الحسابي لدرجات الطلاب في الاختبارات هو 80، فهذا يشير إلى أن معظم الطلاب حصلوا على درجات قريبة من هذا الرقم. يُستخدم الانحراف المعياري لتقدير مدى تباعد القيم عن المتوسط، مما يوفر مؤشراً على مقدار تشتت البيانات.
استخدامات الانحراف المعياري
- يُستخدم الانحراف المعياري في مختلف العلوم، بما في ذلك الإحصاء والرياضيات.
- يُستعمل في دراسة الظواهر الطبيعية والاجتماعية لتحديد توافق البيانات مع النماذج الإحصائية.
- يُستخدم أيضًا في تحليل الانحرافات في درجات الحرارة وفهم تفاوتات الدخل بين الأسر في مجموعة معينة.
- يساعد كل من المتوسط الحسابي والانحراف المعياري على تحليل البيانات وفهم الظواهر المختلفة، مما يجعلهما أدوات مهمة في علم الإحصاء.
ما هو الانحراف المعياري؟
- الانحراف المعياري هو مقياس يُعبر عن مدى تباعد البيانات عن المتوسط الحسابي، حيث يُحدد حجم التشتت في العينة أو المجموعة.
- يتم حسابه من خلال جمع فروق القيم المربعة بالنسبة للمتوسط الحسابي، وبعد ذلك حساب الجذر التربيعي للحصول على الخلاصة النهائية للانحراف المعياري.
- يُعبر عن الانحراف المعياري كجذر تربيعي لمتوسط الفروق المربعة بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط الحسابي لهذه القيمة.
كيفية حساب الانحراف المعياري
يمكن حساب الانحراف المعياري وفقاً للخطوات التالية:
- حساب متوسط البيانات.
- حساب الفرق بين كل قيمة ومتوسط البيانات.
- رفع كل فرق للأس الثاني (أي ضربه في نفسه).
- جمع جميع الأرقام المربعة الناتجة.
- قسمة المجموع السابق على عدد العناصر في مجموعة البيانات.
- استخراج الجذر التربيعي للناتج من الخطوة السابقة.
ما هو المتوسط الحسابي؟
- المتوسط الحسابي هو عبارة عن المجموع الكلي للأرقام في مجموعة معينة، مقسومًا على عدد تلك الأرقام، ويُعبر بالتالي عن القيمة الوسطية للعينة.
- يتم حسابه من خلال جمع القيم ثم قسمتها على عددها، ويُستخدم كمؤشر لتمثيل متوسط البيانات في مجموعة معينة.
- يُلعب المتوسط الحسابي دوراً مهماً في الإحصاء والتطبيقات الأخرى مثل التمويل والإدارة والاقتصاد والعلوم الاجتماعية.
- هو القيمة التي يتم تحديدها من خلال جمع قيم معينة وتقسيمها على عددها.
استخدامات المتوسط الحسابي
يستخدم المتوسط الحسابي في مجالات متعددة، منها:
- يعتبر من الأدوات الأساسية في علم الإحصاء، حيث يوفر وسيلة سريعة وفعالة لتحليل البيانات.
- يُعتبر طريقة شائعة لقياس التغير والتباين في البيانات، مما يُظهر متوسط القيم المُجمعة.
- يساعد في تحديد العائد المتوقع والتوزيعات الاحتمالية في الأسواق المالية.
- يستخدم في مجالات عملية متعددة مثل حساب التكاليف، تحديد الأسعار، وتقييم الأداء.
- يعد أداة قيمة في حل القضايا الحسابية عندما تكون كمية البيانات كبيرة وصعبة للمقارنة الفردية.
فوائد المتوسط الحسابي
- يمثل المتوسط الحسابي القيمة الوسطية للعينة، مما يُساعد في تحديد ما إذا كانت القيم أعلى أو أقل من هذا المتوسط.
- يخدم المتوسط الحسابي في تلخيص المعلومات، تبسيطها، وإيجاد العلاقات الإحصائية بين البيانات.
- يدعم المتوسط الحسابي تحليل البيانات واستنتاج النتائج الإحصائية، مما يُساعد في توقع المستقبل بناءً على المعلومات التاريخية.
ندعوكم أيضاً للتعرف على:
عيوب المتوسط الحسابي
- لا يعد المتوسط الحسابي مؤشراً دقيقاً في الحالات التي يتواجد فيها توزيع غير منتظم للعينة، وقد تظهر تغيرات كبيرة في الأبعاد القصوى للتوزيع.
- لا يُستعمل المتوسط الحسابي للأرقام غير المرتبطة بالكميات مثل الألوان أو الجنس أو الجنسية، حيث لا يحمل معنى حقيقياً لحسابها.
- قد تؤثر القيم الشاذة على المتوسط الحسابي، مما قد يؤدي إلى نتائج غير دقيقة بالنسبة للقيم الفعلية.
قانون المتوسط الحسابي
قانون المتوسط الحسابي في الرياضيات ينص على أن مجموع قيم بعض الأرقام، سواء كانت صحيحة أو غير متقاربة، يعادل حاصل ضرب العدد الإجمالي للأرقام المعنوية في المجموع المتقارب بدون الأرقام الكلية المنتهية.
على سبيل المثال، إذا أخذنا المجموعة {1، 2، 3، 4، 5}، يتم تطبيق قانون المتوسط الحسابي كما يلي:
- أولاً، نجمع الأرقام في المجموعة: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
- ثانياً، نقوم بقسمة مجموع الأرقام على عددها: 15 ÷ 5 = 3.
- النتيجة النهائية هي 3، مما يمثل المتوسط الحسابي لهذه المجموعة.
كما يمكنكم الاطلاع على:
كيفية حساب الانحراف المعياري
يتم حساب الانحراف المعياري وفق الخطوات التالية:
- حساب المتوسط الحسابي (X).
- حساب الفرق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي (X – Xi).
- رفع كل قيمة مضروبة بالفرق بينها وبين المتوسط الحسابي (X – Xi)²).
- حساب مجموع القيم السابقة، ثم قسمتها على عدد العناصر في البيانات، وتحويل الناتج إلى جذر تربيعي (SQRT(Σ(X – Xi)²/N)).
خصائص الانحراف المعياري
- يزيد الانحراف المعياري مع تزايد درجة التشتت في البيانات.
- يزيد مع تزايد عدد القيم الشاذة الموجودة في البيانات.
- يعتمد على المتوسط الحسابي، وقد يكون غير دقيق في حال كان المتوسط الحسابي غير تمثيلي للبيانات.
- يمكن استخدام الانحراف المعياري لمقارنة درجة التشتت في بيانات مختلفة ولتحديد إمكانية تشابه أو اختلاف مجموعتين من البيانات.
- يعين الانحراف المعياري في التعرف على القيم الشاذة، حيث تمثل أي قيمة بعيدة عن المتوسط الحسابي ظاهرة شاذة.
عيوب الانحراف المعياري
- قد يتأثر بالقيما الشاذة في البيانات، ويؤدي ذلك إلى زيادة الانحراف المعياري في حالة وجود قيم شاذة، مما يسبب تشويهاً في القراءة النهائية لدرجة التشتت.
- في بعض الحالات، قد لا يُعتبر الانحراف المعياري مؤشراً صحيحاً للتشتت بسبب الزيادة في الانحراف الناتج عن زيادة عدد العينات، وهو ما يُعرف بتأثير الحجم على الانحراف المعياري.
- يمكن أن يكون الانحراف المعياري حساساً لحجم العينة، مما يجعله غير دقيق إذا كانت العينة صغيرة جداً أو كبيرة جداً.
للمزيد من المعلومات، اقرأ أيضاً:
