في مجال الرياضيات، يعتبر التبرير وإيجاد البراهين من المفاهيم الأساسية التي نستخدمها بشكل متكرر. في هذا البحث، سنستعرض معلومات مفصلة حول التبرير والبرهان في الرياضيات، وسنتناول أنواع البراهين المختلفة، بالإضافة إلى دورها الحيوي في العلوم الرياضية وتطبيقاتها العملية.
مقدمة حول التبرير والبرهان في الرياضيات
يعبر البرهان الرياضي عن عملية الإثبات المستندة إلى بدهيات معينة، حيث يمكن التعبير عنه من خلال علاقة أو عبارة رياضية صحيحة منطقيًا في إطار تلك البدهيات. في هذا المقال، سنوضح تعريف البرهان والدليل والتبرير في الرياضيات، سواء فيما يتعلق بالعبارات الجبرية أو الهندسية.
تعريف التبرير والبرهان في الرياضيات
- استنادًا إلى ما سبق، يمكن تعريف البرهان الرياضي بأنه حجة تُستخدم لتفسير ظاهرة ما، أو تعليل منطقي، وليست مجرد تعبير تجريبي.
- كل عبارة رياضية يمكن أن تُبرهِن إذا كانت صحيحة، بينما لا يمكن إثبات عبارة خاطئة.
- قبل اعتبار شيء ما صحيحًا في الرياضيات، من الضروري فهم النظرية المرتبطة بذلك وكيف تم التوصل إليها.
- أما العبارات غير المُثبَتَة، فلا يمكن اعتبارها خاطئة إذا كانت تدعمها أدلة تجريبية، كما أن هناك عبارات رياضية تدعمها أبحاث تثبت صحتها وفقًا للحدس.
التبرير والبرهان في الرياضيات لطلاب الصف الأول الثانوي
- يبدأ طلاب الصف الأول الثانوي في استخدام التبرير والبرهان في الرياضيات بشكل مكثف، حيث تعتمد الدراسات في هذه المرحلة على البحث الدقيق والتفكير النقدي.
- تتضمن الرياضيات نوعين من البراهين: الأول هو البرهان الجبري، الذي يعتمد على الرموز وعلاقات مكتوبة دون الحاجة إلى رسم.
- بينما يتطلب التبرير والبرهان الهندسي الرسم، حيث يتضمن تحديد الزوايا ورسم الأشكال لتحقيق النتائج المرجوة.
تعريف البرهان الرياضي
البرهان الرياضي هو إثبات يعتمد على بدهيات معينة، ويثبت صحة عبارة رياضية أو علاقة رياضية ضمن مجموعة هذه البدهيات، مما يجعله تعليلاً منطقياً وليس مجرد دليل تجريبي.
ما هي البدهيات في الرياضيات؟
- البدهيات هي فرضيات تستخدم للوصول إلى البرهان، مثل بدهيات ZFC التي تخص نظرية المجموعات.
- تقوم نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل على أسس وضعها علم الجبر والتحليل الرياضي.
- عند إثبات أمر رياضي، يُفضل استخدام الصياغة المناسبة للبدهيات التي تدعم القضية مدار البحث.
- كمثال، في مبرهنة تقول أن كل قطريين في متوازي الأضلاع ينصفان بعضهما، نقول: عند كون الرباعي متوازي أضلاع، فإن كل قطري ينصف الآخر.
- توجد أساليب متعددة للبرهان الرياضي مثل البرهان المباشر والعكسي والتناقض.
البرهان المباشر في الرياضيات
البرهان المباشر يعتمد على العلاقة المعروفة بالاقتضاء، حيث إذا كانت أ تقتضي ب، وب تقتضي ج، فإنه يُظهر أن أ تقتضي ج.
كمثال، إذا أردت إثبات أن إذا كان س = 3، فإنه 2(4 س + 5) – 1 = 33، سيكون البرهان كما يلي: عندما س = 3، فإن 4 س = 12، وبالتالي 4 س + 5 = 17، مما يؤدي إلى 2 (4 س + 5) = 34، ثم 2 (4 س + 5) – 1 = 33.
البرهان باستخدام المنطق الرمزي
- المنطق الرمزي يتضمن مجموعة من القواعد والأساليب المستخدمة لتحديد صحة بعض الاستنتاجات.
- يمكن استخدام سلسلة من البراهين لتكوين استنتاج من خلال ربطها ببعضها.
- في التقارير، يُفضل استخدام البراهين الرياضية التي تتجنب التعارض مع البداهة.
- كمثال على المنطق الرمزي: إذا كانت كل الطالبات المتفوقات ومريم طالبة، فالنتيجة هي أن مريم طالبة متفوقة.
أمثلة على البراهين الرياضية المتنوعة
تعتبر البرهان المباشر قائمة على معطيات واضحة، حيث يتم استخدام المعطيات للوصول إلى النتائج المطلوبة. وفي المقابل، يعتمد البرهان غير المباشر على وجود تعارض مع الحقيقة.
مثال توضيحي على البرهان الرياضي
من بين التمارين التي تطرح في البرهان الرياضي: برهن أنه إذا كان 5 – (س + 4) = 70، فإن x = 18. باستخدام المعطيات، نبدأ ب 5 – x – 4 = 70، بتطبيق خاصيات التوزيع.
أنواع البرهان الرياضي
- توجد أساليب عديدة للبرهان، مثل البرهان الجبري الذي يستخدم لإثبات العلاقات بين المقاييس.
- على سبيل المثال، إذا كانت لدينا صيغة مثل F-32 = 5/9 C، ونحتاج إلى إثبات F = 9/5 C + 32.
- يتم استخدام خصائص الأعداد الحقيقية لإثبات مجموعة من الاشياء.
- كما يعالج البرهان الهندسي المستقيمات والأشكال الهندسية المختلفة.
- البراهين يمكن أن تكون بأشكال متعددة، مثل البرهان ذو العمودين أو البرهان الحر.
خاتمة حول التبرير والبرهان في الرياضيات
في ختام بحثنا عن التبرير والبرهان في الرياضيات، ناقشنا تعريف البرهان والتبرير وأنواع البراهين المتاحة، مثل البرهان المباشر والعكسي، وتطرقنا لأهميتها خاصة لطلاب الصف الأول الثانوي. كما قدمنا أمثلة متنوعة توضح كيفية تطبيق تلك البراهين في الرياضيات.
