الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
في هذا المقال، سنستعرض الفرق بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات الموجودة في الفضاء:
- الضرب الداخلي يُعتبر واحدًا من العمليات الرياضية التي تعتمد على المتجهات.
- بفضل الأهمية الجليّة للضرب الداخلي في علم الرياضيات، يُستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات.
- يتضمن ذلك حساب طول المتجه والقيمة الزاوية بين متجهين، بالإضافة إلى استخدامه في تحديد القيم الفيزيائية.
- فالضرب الداخلي ينتج عن عملية ضرب المتجهات، مما يمكننا من حساب الشغل، الفيض المغناطيسي، وبيان القدرة.
التمييز بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي
- لتوضيح الفرق بين الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي، يجب أن نأخذ في الاعتبار أن الضرب الاتجاهي هو أحد الأسماء المتداولة للضرب الداخلي، كما أنه يعرف أيضًا باسم الضرب التقاطعي أو الجداء المتجهي.
- يتم استخدام الضرب الداخلي لضرب المتجهات، مما يجعله فريدًا عن الضرب التقليدي.
- نظرًا لأن المتجهات ليست مجرد أرقام، فإن الطرق التقليدية لا تُستخدم في إيجاد الحلول المتعلقة بها.
- تمت تسميته بهذا الاسم كونه يشير إلى معادلة ثنائية تُجرى بين متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
- لذا، يختلف الضرب الداخلي عن الضرب القياسي المستخدم في التعامل مع الكميات القياسية.
لا تفوت قراءة مقالنا حول:
نقاط مهمة حول المتجهات
لفهم الفرق بين الضرب الداخلي والاتجاهي، من المهم معرفة بعض الملاحظات حول المتجهات:
- يتم تمثيل المتجهات من خلال عدد من النقاط في المستوى الأفقي والرأسي، وغالبًا ما تتكون من ثلاثة اتجاهات.
- المتجه الوحدة هو المتجه الذي يتمتع بطول وحدة واحدة.
- إذا كانت جميع القيم تساوي الصفر، فإن قيمة المتجه يكون صفرًا.
- يعتبر متجهان متساويان عندما يتساوى مقدارهما.
- تُسمى المتجهات السالبة تلك التي تسير في الاتجاه المعاكس بنفس القيمة.
- أما المتجهات المتوازية، فهي تلك التي تتجه في نفس الاتجاه وتكون متساوية في المقدار.
- عندما تتواجد المتجهات في نفس المستوى، يطلق عليها اسم المتجهات المشتركة في المستوى.
خصائص الضرب الداخلي
هناك العديد من الخصائص المشتركة بين عملية الضرب التقليدي والضرب الداخلي، منها:
- خاصية التوزيع.
- خاصية الإبدال.
- خاصية الضرب في عدد حقيقي.
بينما هناك بعض الخصائص التي تميز فقط عملية الضرب الداخلي، ومن تلك الخصائص:
- خاصية تتعلق بالضرب الداخلي حيث يتم ضرب متجه بآخر يكون قيمته صفر.
- خاصية تعتمد على طول المتجه عند ضرب المتجهات.
يمكن كتابة المتجه بعدة طرق مختلفة، مثل:
- توافق خط يمثل قياس متجهين وحدة.
- توافق خط يمثّل المتجه القياسي للوحدة.
- في صورة مجموعة ترتبط بضرب المتجه القياسي في جميع الاتجاهات.
- كما أن التوافق الخطي يتضمن العديد من الكميات التي حددها علماء الرياضيات.
لا تتردد في زيارة مقالنا عن:
تعريف دراسة الضرب الداخلي
- يعرف الضرب الداخلي بأنه الناتج لحاصل ضرب مسقط أحد المتجهين على المتجه الآخر بالنسبة لمعيار المتجه الآخر.
- يُعرف حاصل جمع الضرب الداخلي مع فضاء المتجهات الحقيقي باسم فضاء الضرب الداخلي الحقيقي.
- تشمل دراسة الضرب الداخلي العديد من التطبيقات الهامة التي يُستحسن التعرف عليها.
- تساعد هذه التطبيقات في حساب نسبة طول المتجه، القيمة الزاوية بين المتجهين، وأيضًا تحديد ناتج مسقط أحد المتجهات على الآخر.
مفهوم الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي
قبل فهم مفهوم الضرب الداخلي للمتجهين، يجب أولًا التعرف على حالات المتجهات:
- يوجد المتجهان المتعامدان اللذان ينتج عنهما صفر عند إجراء عملية الضرب الداخلي عليهما.
- بينما يكون حاصل الضرب الداخلي للمتجهين غير المتعامدين لا يساوي صفر.
بينما يتمثل مفهوم الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي للمتجهين في النقاط التالية:
- يعبر عن مفهوم الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي.
- كذلك يشير إلى مجموع حاصل ضرب المركبات الرأسية.
- ويعبر أيضًا عن مجموع حاصل ضرب المركبات الأفقية.
- ويعرف أيضًا كونه مسقط أحد المتجهين على المتجه الآخر.
- كما يعرف بأنه مسقط متجه في نفس معيار المتجه الآخر.
تطبيقات على الضرب الداخلي
توجد بعض التطبيقات التي يمكن تنفيذها باستخدام الضرب الداخلي، منها:
تطبيق الزاوية بين المتجهين
- يمكننا من خلال هذا التطبيق معرفة قيمة الزاوية بين المتجهين بعد إجراء عملية الضرب الداخلي عليهما.
- عند تطبيق الضرب الداخلي على معيار كل من المتجهين، نجد أن الناتج يساوي Cosine.
- باستخدام بعض قوانين حساب المثلثات، يمكننا إيجاد قيمة الزاوية بينهما.
التطبيقات الفيزيائية
تحتاج العديد من التطبيقات الفيزيائية إلى عملية الضرب الداخلي لإيجاد حلول مثل:
- تطبيق الشغل الناتج عن الضرب الداخلي بين متجه القوة والإزاحة.
- وتطبيق الفيض المغناطيسي الناتج عن الضرب الداخلي بين مساحة السطح والمجال المغناطيسي.
تطبيق الزوايا والتعامد في الفضاء
يتم استخدامه للحصول على علاقات تربط بين المتجهات في الفضاء، ومن هذه العلاقات:
- العلاقة بين الأعمدة المصفوفة والفضاء الصفري.
اقرأ المزيد عن:
