الزوايا المجمعة والزوايا المتممة

تعريف الزاوية

قبل الخوض في تفاصيل الزوايا المتتامة والمتكاملة، يجب أولاً تعريف الزاوية (Angle) بأنها مقدار الانفراج الذي يحده خطان مستقيمان حيث يمثل كل منهما ضلعًا من أضلاع الزاوية.

عند تقاطع هذين الخطين، يتكون ما يسمى برأس الزاوية (Vertex).

ومن المهم أن نفهم أن الزاوية هي أيضًا عبارة عن شعاعين ينطلقان من نقطة بداية واحدة.

لنتعرف على بعض الطرق للتعبير عن الزوايا:

كيف يمكن التعبير عن الزاوية؟

يمكن تسميتها باستخدام ثلاثة حروف حيث يمثل حرفا الرأسين وفقط الوسط يمثل حروف الزاوية، على سبيل المثال: الزاوية (أ ب ج).
يمكن الإشارة إليها بواسطة حرف الرأس فقط في حال عدم وجود أي زاوية أخرى مشتركة.
يمكن تمثيلها برمز إغريقي يعبر عن قياسها، مثل: (α) أو (θ).
وحدة قياس الزاوية هي الدرجات، والتي تُرَمز بالرمز (°).

الزوايا المتتامة والزوايا المتكاملة

الزوايا المتتامة: الزوايا المتتامة يكون مجموع قياسيها 90 درجة.
الزوايا المتكاملة: الزوايا المتكاملة يكون مجموع قياسيها 180 درجة.

أنواع الزوايا حسب القياس

تتعدد أنواع الزوايا حسب قياسها، وإليك بعض الأنواع الرئيسية:

الزوايا القائمة (Right Angle): هي الزوايا التي يقاس زاويتها بـ 90 درجة.
الزوايا الحادة (Acute Angle): هي الزوايا التي يقاس زاويتها بين 0° و90°.
الزوايا المنفرجة (Obtuse Angle): هي الزوايا التي يقاس زاويتها بين 90° و180°.
الزوايا المستقيمة (Straight Angle): هي الزوايا التي يقاس زاويتها بـ 180° وتشبه الخط المستقيم.
الزوايا المنعكسة (Reflex Angle): هي الزوايا التي يقاس زاويتها بين 180° و360°.
الزوايا الكاملة (Full Angle): هي الزوايا التي يقاس زاويتها بـ 360°، مما يعني أنها تشكل دورة كاملة تصل إلى نقطة البدء.

أنواع الزوايا حسب اتجاه القياس

هناك أيضًا تصنيف آخر للزوايا بناءً على اتجاه القياس:

الزوايا الموجبة (Positive Angles): هي الزوايا التي تقاس في اتجاه معاكس لعقارب الساعة بدءًا من القاعدة.
الزوايا السالبة (Negative Angles): هي الزوايا التي تقاس في اتجاه عقارب الساعة بدءًا من القاعدة.

زوايا مترابطة وتفاصيلها

لنتعرف على الزوايا المتتامة والمتكاملة، وهناك زوايا ترتبط فيما بينها حسب علاقاتها، ومنها:

الزوايا المتجاورة (Adjacent Angles): هي الزوايا التي تشترك في ضلع ورأس واحد.
الزوايا المتتامة (Complementary Angles): هي زوايا مجاورة مجموع قياسيها يساوي 90°.
الزوايا المتكاملة (Supplementary Angles): هي زوايا مجاورة مجموع قياسيها يساوي 180°، مما يعني أنها تشكل “زاوية مستقيمة”.
الزوايا المتقابلة بالرأس (Vertically Opposite Angles): هي الزوايا الناتجة عن تقاطع خطين مستقيمين عند نقطة واحدة، حيث تتساوى في القياس، ويكون ضلعاها على امتداد واحد.
الزوايا المتطابقة (Congruent angles): هي الزوايا التي يتساوى قياسها.

لمزيد من المعلومات، تابع القراءة أدناه:

أنواع الزوايا المتتامة

1- الزوايا المتجاورة المتتامة

كما ذُكِر سابقًا، فإن الزاويتين المتتامتين مجموع قياساتهما يساوي 90 درجة، وفي حالة كانت الزاويتان متجاورتان.

بمعنى آخر، يحدث التقاطع عند نقطة وضلع، بحيث لا يوجد تقاطع داخل الزاويتين، مما يجعل ضلعيهما غير المشتركين يشكلان زاوية قائمة.

2- الزوايا المتجاورة المتكاملة

وفقًا لما ذُكِر سابقًا، فإن مجموع قياسات الزاويتين المتكاملتين يساوي 180 درجة، مما يعني أنهما متجاورتان.

وهذا يعني أنه يحدث التقاطع عند نقطة وضلع، دون حدوث أي تقاطع داخلي، مما يجعل ضلعيهما غير المشتركين يصنعان خطًا مستقيمًا.

قاعدة الزوايا المتكاملة

تعريف الزوايا المتكاملة ببساطة هو أنه في حالة كانت هناك زاويتان، فإن حاصل جمع قياسهما يساوي 180°.
تكون الزاويتان متجاورتين، أي تشتركان في ضلع مستقيم واحد.
ستكون إحدى الزاويتين في جهة اليمين والأخرى في جهة اليسار.
لذا في هذه الحالة ستكون الزاويتان متكاملتين.
الترابط بين الزوايا المتكاملة والزوايا المتتامة دائمًا ما يظهر، حيث يكون مجموع قياس الزوايا المتتامة 90°.

على سبيل المثال

إذا كان هناك خط مستقيم يقسم الزاوية إلى زاويتين، فتكون إحدى الزوايا منفرجة = 120°.
أما الزاوية الأخرى فتكون حادة = 60°؛ وبذلك يكون مجموعها 180°، مما يدل على أنها زوايا متكاملة.
ولكن إذا كانت إحدى الزوايا 40° والأخرى 50°، فإن مجموعها 90°، وبالتالي تكونان متتامتين.
إذا كانت الزاويتان متجاورتين على نفس السطر بشكل عمودي، فإن النتيجة تكون زاويتين قائمتين، وبالتالي 90+90=180°.

حالات الزوايا المتكاملة

هذه هي الحالات التي سيكون فيها مجموع قياسات الزوايا = 180°:

عندما تكون الزاويتين قائمتين، فإن 90° + 90° = 180°.
إذا كانت الزاوية الحادة تتراوح بين 0° إلى 90° والزاوية المنفرجة أكبر من 90° وأقل من 180°، فإن مجموع قياسين 40° + 140° = 180°، والعكس بالعكس، كما هو الحال مع 91° + 89°.
من الواجب على الطلاب إيجاد الزاوية المجهولة إذا كان قياس إحدى الزوايا مُعطى، مع العلم أنها متكاملة.

على سبيل المثال:

ابحث عن قياس الزاوية المطلوبة، مع العلم أن الزاوية (ب) المجاورة تساوي 50°.

الحل:

بما أن الزاويتين متجاورتان، فإن مجموعهما يساوي 180°.

وبذلك يكون قياس الزاوية (أ) = 180 – 50 = 130°.

مثال آخر:

إذا كان هناك ضلع (س) عمودي على ضلع آخر (ص)، مما ينتج عنه الزاويتين (أ) و(ب)، احسب مجموع القياسين.

الحل:

بما أن الزاويتين متكاملتين، فإنه سيتم الحصول على مجموع قياسيهما يساوي 180°، حيث أن كلاهما زاويتان قائمتان مما يعني أن كل زاوية = 90°، وبالتالي يكون المجموع 180°.

خطوات رسم زاوية

لرسم زاوية ذات قياس معين بشكل دقيق، يمكن استخدام المنقلة والمسطرة. على سبيل المثال، عند رسم زاوية قياسها 30°، يمكن اتباع الخطوات التالية:

بدايةً، استخدم المسطرة لرسم قطعة مستقيمة تُسمى (س ص).
ثم ضع المنقلة على القطعة المستقيمة (س ص).
احرص على أن يتطابق مركز المنقلة مع نقطة رأس الزاوية (ص).
قم ببدء تدريج المنقلة من 0° على الضلع (س ص)، ثم حدد المكان عند 40° بدقة.
ضع نقطة أو علامة بالقلم عند 40°، وليكن اسمها (ع).
أخيرًا، ارسم خطًا مستقيمًا يربط بين نقطتي (ع) و(ص).
ستكون الزاوية حادة ولها قياس 40° (س ص ع) بعد اتباع هذه الخطوات.