أنواع الكسور في الرياضيات والعمليات المرتبطة بها

أنواع الكسور

الكسور في علم الرياضيات هي أعداد تتمتع بالخاصية المتمثلة في كونها مجزأة، حيث تُعبر عن الكسر من خلال كتابة (عدد\عدد). يُعرف العدد الموجود فوق خط الكسر بـ “البسط”، بينما يُشار إلى العدد الذي يقع أسفل الخط بـ “المقام”. تتنوع الكسور من حيث الأنواع والأشكال، وسنستعرض في هذا المقال أهم تلك الأنواع بالتفصيل:

الكسر البسيط

تُصنف الكسور البسيطة على أنها تلك التي يكون فيها البسط أصغر من المقام، وبالتالي تعبر عن جزء من الكل. يُسمى أيضًا “كسر عادي”، ويتمثل بسطه في قيمة أقل من قيمة المقام. على سبيل المثال، يُعتبر السدس كسرًا بسيطًا. وفيما يلي بعض الأمثلة على الكسور البسيطة:

• 2\4
• 3\5
• 5\9
• 4\10

الكسر المركب

الكسور المركبة هي تلك التي يتجاوز فيها البسط المقام، وتُعرف أيضًا باسم “كسر غير عادي”. تكون نتيجة الكسر أكبر من 1 عند قسمة البسط على المقام. هذا النوع من الكسور يختلف عن آلية التعبير العادية للكسر، حيث يتم تقديمه في صيغة بسط\مقام. وفيما يلي بعض الأمثلة على الكسور المركبة:

• 7\4
• 5\2
• 9\3
• 10\2

العدد الكسري

الأعداد الكسرية عبارة عن مزيج بين عدد صحيح وكسر، وتُعرف بـ “كسر مختلط”. يعبر هذا النوع عن توليفة من الأعداد الصحيحة والكسور، وتكون قيمته دائمًا أكبر من 1. يمكن تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير عادية، وكذلك يمكن تحويل الكسور غير العادية إلى أعداد كسرية. إليك بعض الأمثلة على الأعداد الكسرية:

• 1 2\3
• 7 6\9
• 3 5\6
• 2 4\7

مسائل على الكسور

فيما يلي مجموعة من المسائل التوضيحية المتعلقة بالكسور:

إذا قامت الأم بتقسيم رغيف الخبز إلى ثمانية أجزاء وتوزيع جزء واحد فقط على أبنائها، فما تكون حصة الابن الواحد من الرغيف؟

يمكن التعبير عن الجزء الواحد من الرغيف ب: 1\8؛ مما يعني أن حصة كل ابن ستكون مقدار جزء واحد، وهو 1\8.

يمتلك شخص مزرعة بمساحة 5 دونمات ويخطط لتوزيعها على ابنيه، فما هي حصة كل منهما؟

تتم قسمة المساحة الكلية بينهما عن طريق 5\2.

ترغب معلمة في تقسيم ثلاثة قطع من الحلوى بين طالبين حصل كل منهما على نفس العلامة، فما تكون حصة كل واحد منهما؟

ستقوم المعلمة بتوزيع القطعتين الأوليين بالكامل، بينما ستقسم القطعة الثالثة إلى نصفين متساويين، ليتكون الناتج الإجمالي لصالح كل طالب هو 1 1\2.

العمليات الحسابية على الكسور

تتضمن الكسور إجراء العديد من العمليات الحسابية، مثل: الجمع، الطرح، الضرب والقسمة، لضمان معرفة نتائج العمليات الرياضية الناتجة عن الكسور. فيما يلي توضيح وشرح لهذه العمليات:

الجمع والطرح

تُجرى عملية جمع الكسور العادية والمركبة على عدة مراحل، حيث تتمثل الخطوة النهائية بجمع البسط مع الآخر حينما يكون المقام موحدًا. هذا يعني أنه يمكن الجمع والطرح للكسور العادية والمركبة إذا كانت المقامات متشابهة، من خلال جمع أو طرح البسطين مع بقاء المقام كما هو. على سبيل المثال: 3\5 + 4\5 = 7\5.

أما إذا كانت المقامات مختلفة، يجب توحيدها قبل إجراء الجمع أو الطرح. يتم ذلك عبر إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للمقامين. على سبيل المثال: لجمع الكسور: 2\3 + 1\2، نجد المضاعف المشترك بين 2 و3 وهو 6، ومن ثم نضرب الكسور لتصبح كما يلي: 4\6 + 3\6 = 7\6.

بالنسبة للأعداد الكسرية، يجب تحويل العدد الكسري إلى كسر غير عادي، ثم النظر إلى المقامات بعد التحويل. إذا كانت متشابهة، يتم إجراء الطرح أو الجمع على البسط مع بقاء المقام نفسه. ولكن إذا كانت المقامات مختلفة يجب توحيدها قبل إجراء عملية الجمع أو الطرح.

الضرب والقسمة

تحصل عملية ضرب الكسور العادية والمركبة من خلال ضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام. فعلى سبيل المثال، عند ضرب (2\3 * 7\4) يكون الناتج 14\12. وعند التعامل مع الأعداد الكسرية، يتم تحويل العدد الكسري إلى كسر مركب، ثم تطبيق عملية الضرب كما هو الحال مع الكسور العادية والمركبة.

عند إجراء عملية القسمة، يتم تحويل القسمة إلى عملية ضرب مع قلب الكسر الثاني، ثم نضرب الكسر الأول. مثلًا، عند تقسيم (2\3) على (5\7)، نعيد كتابة الكسر الثاني كـ (7\5) ونجد الناتج (2\3 * 7\5) = 14\15.

مسائل على العمليات الحسابية للكسور

إليك مجموعة من المسائل التطبيقية المتعلقة بالعمليات الحسابية على الكسور مع حلولها:

• ما ناتج جمع الكسريين 3\4 + 5\2؟

نقوم بتوحيد المقامات عن طريق ضرب الكسر الثاني بالعدد 2 ليصبح 10\4، ثم نجمع 3\4 + 10\4 = 13\4.

• ما ناتج طرح الكسرين 8\3 – 5\3؟

بعد أن تكون المقامات موحدة، نقوم بطرح الكسريين مباشرة: (8-5)\3 = 3\3.

• أوجد ناتج الضرب بين العددين الكسريين 2 2\4 * 3 1\2؟

عند تحويل العددين الكسريين إلى كسور مركبة نحصل على: 10\4 * 7\2 = 70\8.

• قم بتقسيم الكسر 6\4 على الكسر 8\3؟

نقوم بقلب الكسر الثاني لنحصل على 3\8 ونضربه في الكسر الأول: 6\4 * 3\8 = 18\32.

العمليات المنطقية على الكسور

تُجرى العمليات المنطقية على الكسور لتحديد طبيعتها مقارنةً ببعضها البعض، سواء كان أحدها أكبر أو أصغر أو متساويًا. هذه الحالات تُرمز كما يلي: أكبر >، أصغر <، ومتساوي =.

كسور لها نفس المقام

عند مقارنة الكسور ذات نفس المقام، يُعتبر الكسر الذي له بسط أكبر هو الأكبر. على سبيل المثال: 3\4 > 2\4.

كسور لها نفس البسط

إذا كانت الكسور لها نفس البسط، فإن الكسر الذي له مقام أكبر يُعتبر هو الأصغر. مثلًا: 4\8 < 3\8.

كسور مختلفة في البسط والمقام

عند المقارنة بين الكسور ذات البسط والمقام المختلفين، مثل 5\3 و4\6، نقوم بالخطوات التالية:

• أولاً، يجب توحيد المقامات بين الكسور.
• إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين المقامين.
• في هذا المثال، نضرب الكسر الأول بالعدد 2 لنحصل على مقامات موحدة.
• بعد عملية التوحيد نحصل على: 10\6 و4\6.
• نقوم بالمقارنة بين الكسرين كما نفعل مع الكسور ذات المقامات المتشابهة، لنخرج بالنتيجة 10\6 > 4\6.

مسائل على العمليات المنطقية للكسور

هنا نستعرض مجموعة مسائلة تطبيقية على العمليات المنطقية للكسور مع حلولها:

• قارن بين الكسر 1 6\4 والكسر 5\7؟

عند تحويل العدد الكسر 1 6\4 إلى 10\4، نقارنه مع الكسر 5\7. بما أن الكسور مختلفة في البسط والمقام، نقوم بتوحيد المقامات: 70\28 و20\28، النتيجة: 70\28 > 20\28.

• قارن بين الكسر 6\3 والكسر 4\2؟

ختامًا، يتم توحيد المقامات لتصبح: 12\6 و12\6، بالتالي الكسران متساويان، والعلاقة هي: 12\6 = 12\6.

• قارن بين الكسر 2\9 والكسر 5\9؟

عند مقارنة الكسور التي لها مقامات متشابهة، نجد أن 2\9 < 5\9.

• قارن بين الكسرين 3\7 و3\5؟

هنا نجد أن البسطين متشابهين، مما يعني أن الكسر صاحب المقام الأكبر هو الأصغر، وبالتالي: 3\7 < 3\5.