أبرز القوانين الأساسية للوغاريتمات

القوانين الأساسية للوغاريتمات

إن القوانين المتعلقة باللوغاريتمات تُطبق على الأعداد الحقيقية الموجبة، مع ضرورة أن يكون أساس اللوغاريتم أكبر من صفر وغير مساوٍ للواحد. فيما يلي أبرز القوانين المتعلقة باللوغاريتمات:

قانون اللوغاريتم للعدد واحد

ينص هذا القانون على أن لوغاريتم العدد واحد لأي أساس يُعطى دائمًا قيمة صفر. وذلك لأن أي عدد مرفوع للقوة صفر يُنتج العدد واحد، على النحو التالي:

لوغ (1) = 0، حيث (ف > 1)

قانون الأس الواحد

ينص هذا القانون على أنه إذا كان أساس اللوغاريتم مساويًا للعدد نفسه، فإن ناتج لوغاريتم هذا العدد يكون واحدًا. وذلك لأن أي عدد مرفوع للأس واحد يُعطي نفس العدد، كما هو موضح:

لوغ (ف) = 1، حيث (ف > 1)

قانون الأس

ينص قانون الأس على أن لوغاريتم العدد المرفوع لقوة معينة، لأساس محدد، يُعبر عنه كحاصل ضرب هذه القوة في لوغاريتم العدد بالنسبة لذلك الأساس، كما يلي:

لوغ (ص^س) = س × لوغ (ص)

حيث (س، ص): أعداد صحيحة موجبة، و(ف) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

وبناءً على ذلك، فإن لوغاريتم الجذر للعدد بالنسبة لأساس معين يُعبر عنه كحاصل ضرب قيمة الجذر في لوغاريتم العدد للأساس، على النحو التالي:

لوغ (ص√ن) = لوغ (ص) × (1/n) = 1/n × لوغ (ص)

كما أنه إذا كان لدينا عدد مرفوع لأس معين، بحيث يتساوى الأساس مع قيمة هذا العدد، فإن ناتج اللوغاريتم يكون ببساطة هو نفس الأس، أي:

لوغ (ف^س) = س. ومن المهم الإشارة إلى أن هذه القاعدة تجمع بين قانون الأس مع قاعدة الأس الواحد، كما يلي:

لوغ (ف^س) = س × لوغ (ف) = س × 1 = س

قانون الأس اللوغاريتم

ينص قانون الأس اللوغاريتم على أن العدد الأول المرفوع لأس لوغاريتم العدد الثاني بالنسبة لأساس معين يُعطي قيمة العدد الثاني، كما هو موضح:

س^(لوغ (ف)) = ف

قانون الضرب

ينص قانون الضرب في اللوغاريتمات على أن لوغاريتم حاصل ضرب عددين تحت أساس محدد يُعطي حاصل جمع لوغاريتم كل من العددين على حدة لنفس الأساس، كما يلي:

لوغ (ص×س) = لوغ (ص) + لوغ (س)

حيث (س، ص): أعداد صحيحة موجبة، و(ف) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قانون القسمة

ينص قانون القسمة في اللوغاريتمات على أن لوغاريتم قسمة عددين تحت أساس معين يُعبر عنه كحاصل طرح لوغاريتم كل عدد على حدة لنفس الأساس، على النحو التالي:

لوغ (ص÷س) = لوغ (ص) – لوغ (س)

حيث (س، ص): أعداد صحيحة موجبة، و(ف) عدد صحيح موجب لا يساوي واحد.

قانون تغيير الأساس

ينص قانون تغيير الأساس في اللوغاريتمات على أن لوغاريتم العدد بالنسبة لأساس أول يُعبر عن ناتج قسمة لوغاريتم العدد بالنسبة لأساس ثانٍ على لوغاريتم الأساس الأول بالنسبة للأساس الثاني، كما يلي:

لوغ (س) = لوغ (س) / لوغ (ف)

حيث (س، ف، ن): أعداد صحيحة موجبة، و(ف، ن): لا تساوي واحد.

قانون التبادل

ينص قانون التبادل في اللوغاريتمات على أن لوغاريتم العدد بالنسبة لأساس معين يُعبر عن ناتج قسمة واحد على لوغاريتم الأساس لذلك الرقم بالنسبة لأساس آخرً، بحيث يكون الأساس الثاني متساويًا مع العدد الأصلي، على الشكل التالي:

لوغ (س) = 1/ لوغ (ف)

حيث (س، ف): أعداد صحيحة موجبة لا تساوي واحد.