الأسطوانة هي شكل ثلاثي الأبعاد يُنتج عن دوران مستطيل حول أحد جوانبه. تتميز بقاعدتين متوازيتين (غالبًا ما تكونان دائريتين) متصلتين بسطح منحني، مما يجعلها واحدة من الأشكال الهندسية الشائعة في حياتنا اليومية، مثل علبة الحساء. عندما تفصل الشكل، ستجد أنه يحتوي على طرفين دائريين يُعرفان باسم القواعد. القواعد دائمًا ما تكون متطابقة ومتوازية.
تعريف الأسطوانة
- يجدر بالذكر أنه عند “فتح” الأسطوانة، فإن الجوانب تتحول إلى مستطيل. الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدتين. من المهم استخدام الارتفاع العمودي عند حساب حجم الأسطوانة المائلة.
- في الحالة التي تكون فيها القاعدتان فوق بعضهما بدقة ويمتد المحور بشكل متعامد على القاعدة، تُعتبر هذه “أسطوانة صحيحة”. إذا تم إزاحة قاعدة واحدة جانبيًا، فإن المحور لن يتعرض لزوايا صحيحة وسيطلق على الشكل الناتج اسم “أسطوانة مائلة”. على الرغم من أن القاعدتين ليستا مباشرة فوق بعضهما، إلا أنهما تبقيان موازيتين.
- يجدر التنويه أيضًا إلى أن المنشور هو شكل صلب ذو قواعد مضلعة وجوانب مسطحة. وبالتالي، فإن الأسطوانة الكهربائية ليست هي نفس المنشور، على الرغم من وجود أوجه شبه بينهما.
- يكون للمنشور قواعد مضلعة، ويتقارب شكل المنشور إلى شكل الأسطوانة عندما يزداد عدد جوانبه.
ما الشكل الناتج عن دوران المستطيل؟
- بالطبع، الشكل الناتج عن دوران المستطيل هو الأسطوانة، وهو شكل ثلاثي الأبعاد له شكل قاعدتين دائريتين على أطرافه وخطوط موازيه تربط بين هاتين القاعدتين، والتي تكون دائماً متطابقة وموازية.
- الأسطوانة تُسمى باللغة الإنجليزية “The Cylinder”، وهي مجسم ثلاثي الأبعاد يحتوي على قاعدتين، أحدهما علوية والأخرى سفلية، وتكون كلاهما دائريتين مما يميزها بتطابقها.
- من المهم أن نعرف أن الشكل الأسطواني يتكون من دوران مستطيل حول أحد جوانبه بشكل كامل.
- تمتلك الأسطوانة أيضًا مجموعة من الملامح، بما في ذلك أنها تحتوي على جانب واحد منحني وقاعدة مسطحة.
أنواع الأسطوانات
هناك نوعان رئيسيان من الأسطوانات:
1. أسطوانة دائرية صحيحة
تُعرف بأنها تكون قاعدتاها فوق بعضهما البعض في وضع محدد، ويكون محور الأسطوانة في الزاوية اليمنى للقاعدة.
2. أسطوانة مائلة
هي الأسطوانة التي تكون فيها إحدى القواعد مائلة، حيث لا يكون محور الأسطوانة بزاوية صحيحة بالنسبة للقاعدة.
حساب مساحة الأسطوانة الجانبية والكلية
تُعرف المساحة الجانبية للأسطوانة بأنها ناتج ضرب محيط الدائرة في ارتفاع الأسطوانة؛ أي 2 × π × نصف القطر × ارتفاع الأسطوانة.
لتحسب مساحة كل قاعدة من قاعدتي الأسطوانة، يجب استخدام قانون مساحة الدائرة: مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)².
المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مجموع مساحة القاعدتين.
لذا، المساحة الجانبية = محيط الدائرة × ارتفاع الأسطوانة، أو 2 × نق × π × ع.
أما مساحة القاعدة الواحدة = π × (نق)².
وبالتالي، المساحة الكلية للأسطوانة = (2 نق π ع) + (2 نق² π).
من خلال إخراج العوامل المشتركة، نحصل على: المساحة الكلية للأسطوانة = 2 × نق × π (ع + نق).
خصائص الأسطوانة
- تتميز الأسطوانة بجوانبها المنحنية فقط.
- تمتلك طرفين مسطحين دائريين أو بيضاويين متطابقين.
- القواعد دائمًا متناسقة ومتوازية.
- يشبه شكل المنشور إذ يتسم بنفس المقطع العرضي في كل مكان.
- تتكون الأسطوانة من قاعدتين مسطحتين دائرتين.
- تمتلك واجهة واحدة تتنتج من دوران المستطيل حول أحد أضلاعه.
أمثلة على حساب المساحة الكلية والجانبية للأسطوانة
المثال الأول:
احسب المساحة الجانبية والكلية لأسطوانة دائرية قائمة، إذا كان نصف قطر قاعدتها يساوي 7 م، وارتفاعها 10 م.
الحل:
- المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مجموع مساحة القاعدتين.
- المساحة الجانبية = 2 × نق × π × ع.
- بتعويض قيم الارتفاع = 10، ونق = 7، نجد:
- المساحة الجانبية = 2 × 7 × π × 10.
- المساحة الجانبية للأسطوانة = 140 π م².
- مساحة القاعدتين = 2 × مساحة القاعدة الواحدة.
- مساحة القاعدتين = 2 × نق² × π.
- مساحة القاعدتين = 2 × 7 × 7 × π.
- مساحة القاعدتين = 98 π م².
- لذا المساحة الكلية للأسطوانة = 140 π + 98 π.
- إذن، المساحة الكلية للأسطوانة = 238 π م².
المثال الثاني:
احسب المساحة الجانبية والكلية لأسطوانة دائرية قائمة، إذا كان نصف قطر قاعدتها يساوي 4 دسم، وارتفاعها 12 دسم.
الحل:
- المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مجموع مساحة القاعدتين.
- المساحة الجانبية = 2 × نق × π × ع.
- عند تعويض قيم الارتفاع = 12، ونق = 4، نجد:
- المساحة الجانبية = 2 × 4 × π × 12.
- المساحة الجانبية للأسطوانة = 96 π دسم².
- مساحة القاعدتين = 2 × مساحة القاعدة الواحدة.
- مساحة القاعدتين = 2 × نق² × π.
- مساحة القاعدتين = 2 × 4 × 4 × π.
- مساحة القاعدتين = 32 π دسم².
- وبذلك، فإن المساحة الكلية للأسطوانة = 96 π + 32 π.
- إذن، المساحة الكلية للأسطوانة = 128 π دسم².
حساب حجم الأسطوانة
لحساب حجم الأسطوانة، يتم ضرب مساحة قاعدة الأسطوانة في الارتفاع. كما أن القاعدة تمثل دائرة، مما يجعل مساحة قاعدة الأسطوانة تساوي مساحة الدائرة، والتي تُحسب كالتالي:
مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)²؛ لذا فإن حجم الأسطوانة يساوي: (حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة).
تُعرف مساحة قاعدة الأسطوانة = مساحة الدائرة.
لذا حجم الأسطوانة = π × نق² × ع.
يجدر بالذكر أن: نق يمثل نصف قطر الدائرة، وارتفاع الأسطوانة هو “ع”.
استخدامات الأسطوانة
- تسهيل عملية التصنيع.
- توفير رؤية أكثر ثباتًا ضد الضغط الداخلي للسوائل أو الغاز بالمقارنة مع الحاويات المكعبة.
- تتميز بتسهيل تعبئة السوائل أو المواد الصلبة الحبيبية مقارنة بالحاويات الكروية.
- تظل أكثر استقرارًا على الأرض مقارنةً بالحاويات الكروية.
- أخف وزنًا وأرخص وأكثر اقتصادًا وفعالية.
- يمكن استخدام الأسطوانات في مضخات المياه، حيث تتكون مضخة المياه من مجسم أسطواني يؤدي وظيفة ضخ السائل بقوة.
- يستخدم الشكل الأسطواني أيضًا في صناعة المنسوجات، حيث تتكون الآلات المستخدمة في معالجة الألياف من أشكال أسطوانية.
- في مجال الأثر، تحتوي آثار الحضارات القديمة مثل البابليين والآشوريين على مجسمات أسطوانية، كالأعمدة المنقوشة.
- قد تُستخدم الأشكال الأسطوانية في المطابع، حيث تدور الآلات حول أسطوانات لطباعة الورق.
أمثلة على الشكل الأسطواني
- قنينة المياه.
- أنبوب الاختبار.
- اسطوانات محرك السيارة.
- أنابيب النحاس لنقل المياه.
- الأنابيب البلاستيكية.
- أنابيب الصلب.
- شمعة.
- بطارية مزدوجة.
- بطارية ثلاثية.
- السجارة.
- لفة ورق التواليت.
- لفة من المناشف الورقية.
- قطعة طبشور.
- حامل قلم رصاص.
