الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
في هذا المقال، سوف نتناول مفهوم الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء.
- يعتبر الضرب الداخلي إحدى العمليات الأساسية في المجال الرياضي، ويتم إجراؤه على المتجهات.
- سنقوم في هذا المقال باستعراض أنواع الاتجاهات وأهمية الضرب الداخلي في التطبيقات المتنوعة.
- لأن هذا النوع من الضرب يعد الأساس في حساب (طول المتجه، الزاوية بين متجهين، وبعض القيم الفيزيائية).
الضرب الداخلي يعني ضرب المتجهات ببعضها البعض، حيث يتم استخدام هذه العملية لاستخراج معلومات متعددة تُستعمل في:
- حساب الشغل.
- احتساب الفيض المغناطيسي.
- تبيان القدرة.
للمزيد من المعلومات، يمكنكم الإطلاع على المقال أدناه:
الفرق بين الضرب الاتجاهي والضرب الداخلي
- يتم تطبيق الضرب الداخلي بين الاتجاهات غالبًا عند ضرب متجهين.
- توجد بعض الخصائص التي تجعل الضرب الداخلي يختلف عن الضرب العادي.
- يُطلق على الضرب الداخلي أيضًا أسماء أخرى مثل: (الضرب الاتجاهي).
- على اعتبار أنه عملية ضرب تتعلق بمتجهين.
- كما يُعرف أيضًا بـ (الضرب التقاطعي، الجداء المتجهي)، حيث يتم هذا في فضاء ثلاثي الأبعاد.
- النتيجة الناتجة عن ضرب متجهين هي متجه بالضبط عمودي على المستوى الذي ينتميان إليه.
- على عكس الضرب القياسي الذي يعطي نتيجة كمية قياسية.
- المتجهات ليست مجرد أرقام بسيطة، بل تحمل خصائص تجعلها فريدة.
- لذلك، يوجد فرق بين ضرب المتجهات وضرب الأرقام العادية.
ملاحظات حول المتجهات
لتسهيل عملية الضرب الداخلي، من الضروري أن نكون على دراية ببعض الملاحظات الهامة المتعلقة بالمتجهات، والتي نقدمها فيما يلي:
- المتجه: يُعرَّف المتجه بأنه مجموعة من الأرقام مرتبة في شكل رأسي وأفقي، وغالبًا ما يُمثل بثلاثة أبعاد.
- المتجهات المتساوية: يُعتبر المتجهان متساويين إذا كان لديهما نفس المقدار.
- متجه الوحدة: هو المتجه الذي طوله يعادل وحدة واحدة.
- المتجه الصفري: يُعتبر المتجه صفريًا عندما تكون جميع أبعاده وقيمه تساوي (0,0,0).
- المتجهات السالبة: هي المتجهات التي تحمل نفس القيمة ولكنها تعكس الاتجاه.
- المتجهات المتوازية: هي المتجهات التي تسير في نفس الاتجاه وقد تختلف في المقدار.
- المتجهات المشتركة في المستوى: هي التي تقع في مستوى واحد أو تكون متوازية في نفس المستوى.
معلومات حول الضرب الداخلي
- يتم إجراء الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي بين متجهين، حيث يُعرف الضرب الداخلي على أنه ضرب مكون متجه في الآخر وفق معياره.
- (فضاء الضرب الداخلي الحقيقي): هو الاسم الذي يُطلق على فضاء المتجهات الحقيقي مع إضافة الضرب الداخلي إليه.
خصائص الضرب الداخلي
هناك العديد من الخصائص الجبرية التي تطبق على عمليات الضرب العادية، والتي تنطبق أيضًا على الضرب الداخلي. تتضمن هذه الخصائص:
- خاصية الإبدال.
- خاصية التوزيع.
- خاصية الضرب برقم حقيقي.
هناك أيضًا خصائص فريدة تتعلق فقط بالضرب الداخلي، مثل:
- خاصية الضرب الداخلي، حيث إذا تم ضرب متجه في آخر مقداره صفراً.
- علاقة تربط طول المتجه بالضرب الداخلي.
- يمكن كتابة المتجه بشكل توافق خطي مع المتجهات القياسية للوحدة.
- من الممكن تمثيل المتجه على هيئة مجموعة بناءً على المتجه القياسي للوحدة.
- توجد فرضيات علمية تتعلق بالكميات في هيئة توافق خطي.
لا تفوت قراءة مقالنا حول:
تعريف دراسة الضرب الداخلي
- يعد دراسة الضرب الداخلي ومفاهيمه من الدروس الأساسية في مناهج التعليم الثانوي والإعدادي.
- كما يُعتبر هذا الدرس توضيحًا لعملية هامة تحدث عند دراسة المتجهات.
- بعد مناقشة الاتجاهات وخصائصها، سنتطرق إلى العمليات المتعلقة بها، وأبرزها هي “الضرب الداخلي”.
- تستند عملية الضرب الداخلي على تطبيقات متعددة تقدمها.
- من خلالها يمكننا التعرف على: (طول المتجه، الزاوية بين المتجهات، إيجاد مسقط المتجه في اتجاه الآخر).
مفهوم الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي
- هو عبارة عن مجموع حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الرأسي بالإضافة إلى حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الأفقي.
- هذا هو المفهوم العام لـ “الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي”.
- يمثل مسقط أحد المتجهين على المتجه الآخر أو أحد المتجهات في معيار المتجه الآخر.
- هذه هي أيضًا التعريفات الخاصة بالضرب الداخلي لمتجهين ضمن المستوى الإحداثي.
التحقق من تعامد المتجهات
- توجد تطبيقات عديدة تتعلق بعملية الضرب الداخلي، ومن أبرزها التحقق مما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا.
- حيث تكون نتيجة الضرب الداخلي غير صفري في حالة عدم تعامدهما.
- تُعتبر المتجهات متعامدة إذا كانت النتيجة عند إجراء عملية الضرب الداخلي تساوي الصفر.
- أما إذا كانت النتيجة عند عملية الضرب الداخلي غير مساوية للصفر، فإن المتجهان غير متعامدين.
تطبيق الزاوية بين المتجهات
يمكن حساب الزاوية بين المتجهين من خلال تطبيق الضرب الداخلي بينهما.
حيث يمكننا استخدام معيار كل متجه وإيجاد أن حاصل الضرب يساوي القيمة المعروفة لـ Cosine.
باستخدام قوانين حساب المثلثات، يمكننا استخراج قيمة الزاوية المطلوبة بناءً على القياسات السابقة.
تطبيقات فيزيائية للضرب الداخلي
- إلى جانب أهميته في الرياضيات، يتمتع الضرب الداخلي بالعديد من التطبيقات الفيزيائية.
- توجد أيضًا تطبيقات هندسية عديدة تستفيد من الضرب الداخلي لتحقيق النتائج المرجوة.
- يُعتبر (الشغل) من أهم التطبيقات، حيث يُعبر عن الشغل بالضرب الداخلي بين (متجه القوة والإزاحة).
- يوجد استخدام آخر يتمثل في (الفيض المغناطيسي)، والذي يُستخرج من الضرب الداخلي بين (المجال المغناطيسي ومساحة السطح).
تطبيق الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي
تُستخدم الزاوية بين متجهين في فضاء الضرب الداخلي في العديد من الأغراض للوصول إلى علاقات أساسية تربط بين المتجهات ضمن هذا الفضاء، مثل:
- العلاقات بين الفضاء الصفري وفضاء الأعمدة لأي مصفوفة.
- على سبيل المثال، إذا كان لدينا U كفضاء جزئي من فضاء الضرب الداخلي V، وإذا وُجد المتجه v في V العمودي، يُعتبر عموديًا على U إذا كان عموديًا على أي متجه في U.
- وبذلك يكون مجموع المتجهات في V العمودي على U يُعتبر مكملًا عموديًا للفضاء الجزئي في U.
