مقدمة بحث حول الهندسة في الرياضيات
- تُعتبر الهندسة إحدى المجالات الأساسية في الرياضيات، حيث تم دراستها لفهم العناصر المادية في العالم الذي نعيش فيه، ويستمر هذا التقليد حتى يومنا هذا.
- كمثال على ذلك، حققت نظرية النسبية العامة لأينشتاين نجاحًا مذهلاً، إذ أنها تهتم بأسس هندسية تُفسر الجاذبية من خلال انحناء “الزمكان” في بعد رباعي.
- ومع ذلك، لا تقتصر الهندسة على التطبيقات الملموسة، بل يمكن القول إن الأفكار والأساليب الهندسية قد تسللت بشكل دائم إلى جميع مجالات الرياضيات.
- في اللغة الرياضية الحديثة، يكون التركيز الأساسي في دراسة الهندسة على مفهوم المتشعب، وهو كائن يتسم بشكل عام معقد، ولكنه على المقاييس الدقيقة “يبدو” كفضاء عادي بُعد معين.
- المتشعب أحادي البعد، على سبيل المثال، يظهر في قطع صغيرة منه كخط، رغم أن هيكله العام قد يبدو كمنحنى بدلاً من خط مستقيم ثنائي الأبعاد.
- وعند النظر على مقاييس صغيرة، يمكن مقارنة المتشعب بوصفه قطعة (منحنية) من الورق – حيث هناك اتجاهان مستقلان يمكن التحرك فيهما في أي نقطة.
- ينبغي ملاحظة أن سطح الأرض يعتبر بتعدد الأبعاد ثنائي الأبعاد.
- وعلى نحو مشابه، يبدو المتشعب ذي الأبعاد n محليًا كفضاء عادي ذو أبعاد n.
- ومع ذلك، هذا لا يتفق بالضرورة مع أي تصور للفضاء المادي.
- مثال على ذلك، يتم وصف بيانات موقع وسرعة N جسيمًا في غرفة باستخدام 6N متغيرات مستقلة، حيث يحتاج كل جسيم إلى 3 أرقام لوصف موقعه و3 أرقام أخرى لوصف سرعته.
- وبناءً على ذلك، فإن “مساحة التكوين” لهذه النظام تكون متشعبة بأبعاد 6N.
- إذا كانت حركة هذه الجسيمات غير مستقلة لسبب ما، ولكنها مقيدة بطريقة ما، فإن مساحة التكوين ستكون متشعبة بأبعاد أقل.
يمكنكم أيضًا التعرف على:
الأشكال الهندسية البارزة
1. الهرم
يمكن وصف الهرم على أنه مجسم يتميز بقاعدة مسطحة ومتعددة الأضلاع ذات حواف مستقيمة.
يتميز الهرم أيضًا بوجود ثلاثة أو أكثر من الحواف المثلثة التي تلتقي عند نقطة واحدة تعرف بالقمة، دون أي منحنيات. ويتنوع الهرم إلى عدة أنواع:
- الهرم القائم: حيث تكون قمة هذا الهرم محاذية لمركز قاعدته.
- الهرم المائل: حيث تكون قمة هذا الهرم غير محاذية تمامًا لمركز قاعدته، مما يجعل الأوجه الجانبية المثلثة غير متطابقة.
- الهرم الثلاثي: له قاعدة مثلثية.
- الهرم المربع: بالقاعدة المربعة.
- الهرم الخماسي: له قاعدة على شكل خماسي.
- الهرم المنتظم: يتميز بقاعدة مضلعة منتظمة.
- الهرم غير المنتظم: له قاعدة مضلعة غير منتظمة.
أما بالنسبة لحجم الهرم، فهو الحجم الذي يشغله الشكل الهرمي، ويتم قياسه باستخدام الوحدات المكعبة، وفيما يلي قانون حجم الهرم:
حجم الهرم = ⅓ × (مساحة القاعدة) × الارتفاع.
تُعرف مساحة سطح الهرم بأنها المساحة الإجمالية لجميع الأسطح، وصيغة حساب مساحة سطح الهرم كما يلي:
مساحة سطح الهرم = (مساحة القاعدة) + ½ × (محيط القاعدة) × (الارتفاع الجانبي أو الطول المائل).
2. الأسطوانة
- تعرف الأسطوانة بأنها مجسم ثلاثي الأبعاد يتكون من دائرتين متطابقتين مرتبطتين بخط منحني.
- تكون القاعدتان مسطحتين ومتطابقتين ومتوازيتين، ودائريتين أو بيضاويتين الشكل، ولحساب حجم الأسطوانة:
حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع = π × مربع نصف قطر القاعدة × ارتفاع الأسطوانة = (π × نق²) × (ع)
- حيث أن: نق: نصف قطر القاعدة الدائرية.
- ع: ارتفاع الأسطوانة.
عند نشر الأسطوانة، نلاحظ أن شبكتها تتكون من دائرتين ومستطيل، لذلك عند حساب مساحة سطحها، يجب جمع المساحات كما يلي:
مساحة الأسطوانة = 2 × مساحة القاعدة الدائرية + مساحة المستطيل (المساحة الجانبية) = 2 × (π × نق²) + 2 × π × نق × ع؛ حيث: نق: نصف قطر القاعدة الدائرية. ع: ارتفاع الأسطوانة.
3. المخروط
يُعرّف المخروط بأنه شكل هندسي يتميز بسطح مستوٍ يعرف بالقاعدة وسطح منحني يتجه نحو الأعلى نحو القمة، والتي هي النهاية المخروطية للمخروط. وله ثلاث خصائص رئيسية:
- وجهه مستدير.
- ليس لديه حواف.
- كما أن له زاوية واحدة.
يُسمى المخروط “المخروط الدائري القائم” إذا كانت القمة تقع مباشرة فوق مركز الدائرة ومحاذية لها، بينما يُعرف “المخروط المائل” إذا كان الجزء العلوي مائلًا عن مركز الدائرة.
وفيما يتعلق بقوانين المخروط، فهي كالتالي:
- المساحة الكلية لسطح المخروط = π × نصف قطر قاعدة المخروط × طول المائل = π × نق × ل.
- حجم المخروط = ⅓ × π × مربع نصف قطر قاعدة المخروط × ارتفاع = ⅓ × π × نق² × ع.
- مساحة القاعدة = π × مربع نصف قطر قاعدة المخروط = π × نق².
حيث إن: نق: نصف قطر القاعدة الدائرية. ل: الارتفاع الجانبي للمخروط، أو طول المائل؛ ل²=نق²+ع². ع: ارتفاع المخروط.
اقرأ المزيد هنا عن:
4. المكعب
المكعب هو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، يتمتع ب 6 أوجه مربعة، 8 رؤوس، و 12 حافة.
من خصائصه المميزة:
- تكون جميع زوايا المكعب قائمة.
- ارتفاع المكعب يساوي عرضه وطوله.
- جميع أوجه المكعب مربعة الشكل ومتساوية الارتفاع والعرض.
- الأضلاع المتقابلة متوازية.
بما أن جميع جوانب المكعب مربعات متطابقة، إذا كان طول أحد أضلاعه = س، فإن حجم المكعب سيكون كما يلي:
- حجم المكعب = مكعب طول الضلع = س³.
- مساحة سطح المكعب = 6 × مربع طول الضلع = 6 × س².
5. متوازي المستطيلات
يمكن تعريف متوازي المستطيلات بأنه:
- شكل ثلاثي الأبعاد.
- يمتلك 6 أوجه على شكل مستطيلات تُعرف بالوجوه.
- و 8 رؤوس.
- و 12 حافة أو جانب.
- جميع زوايا متوازي المستطيلات قائمة.
تكون الأوجه المتقابلة في متوازي المستطيلات متساوية، نظرًا لاختلاف طوله وعرضه وارتفاعه. ويتم حساب حجم متوازي المستطيلات باستخدام الصيغة:
- حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع، وبالرموز: حجم متوازي المستطيلات = س × ل × ع؛ حيث أن: س: عرض متوازي المستطيلات. ل: طول متوازي المستطيلات. ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.
- مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2 × (الطول × العرض) + 2 × (الطول × الارتفاع) + 2 × (العرض × الارتفاع) = 2 × (الطول × العرض + الطول × الارتفاع + العرض × الارتفاع).
الأشكال الهندسية المستوية
1. المُربع
المُربع هو نوع خاص من المستطيل، ومن المعين، حيث أنه يمتلك قائمة مشتركة مع كل منهما، وجميع زواياه متساوية.
يجدر بالذكر أن:
- المُربع يُعتبر شكل رباعي الأضلاع.
- يتشكل من خلال رسم 4 خطوط متساوية في الطول.
- تتلاقى هذه الخطوط مع بعضها لتكوين زوايا قائمة.
العنصر الفارق بين المربع والمستطيل هو أن طول ضلعين في المستطيل يكون أطول من باقي الأضلاع، وللمربع خصائص كما يلي:
- جميع أضلاعه متساوية.
- جميع زواياه متساوية.
- الأضلاع المتقابلة متوازية.
- أقطاره متطابقة.
- تتعامد أقطاره.
طول قطر المربع = 2√ × طول ضلع المربع.
مساحة المربع = طول ضلع المربع².
محيط المربع = 4 × طول ضلع المربع.
2. المُستطيل
- يمكن تعريف المستطيل كشكل هندسي يتكون من 4 أضلاع و4 زوايا قائمة، حيث الأضلاع المتقابلة متوازية ومتطابقة.
- كما أن أقطاره متطابقة وتمتاز بسهولة الاستخدام.
- تتكون الزوايا المتقابلة عند نقطة تقاطع الأقطار.
- يُعتبر المستطيل نوعًا من متوازي الأضلاع حيث جميع الزوايا فيه قائمة.
بعض القوانين المرتبطة بالمستطيل:
- طول قطر المستطيل = √(الطول² + العرض²).
- مساحة المستطيل = الطول × العرض.
- محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض).
خاتمة بحث حول الهندسة في الرياضيات
تقدم هذه المقالة نبذة عن الهندسة في الرياضيات، حيث يمكن للقراء التعرف على مجموعة من الأشكال الهندسية وأساسيات الهندسة كعلم.
