أسس علم الجبر
تُعَدّ مؤلَّف الخوارزمي في علم الجبر من أبرز أعماله الشهيرة، ويُعرف بكتاب “المختصر في حساب الجبر والمقابلة”. حيث جمع فيه بين عناصر من الرياضيات اليونانية والعبرية والهندية، مستنداً إلى الرياضيات البابلية التي تعود لأكثر من ألفي عام. على الرغم من أن الخوارزمي أسس القواعد الأساسية لعلم الجبر، إلا أن عمله في حساب الجبر والمقابلة كان له أهداف عملية وتطبيقات شاملة في مجالات متعددة، مثل: حساب الميراث، المنازعات القانونية، التجارة، قياس الأراضي، جميع التعاملات بين الأفراد، حفر القنوات، والحسابات الهندسية، إلى جانب تطبيقات عملية أخرى متنوعة.
تحسين مفهوم الجبر
طور العالم الخوارزمي مفهوم الجبر من خلال تقديم أسلوب جديد لحل المعادلات الخطية والتربيعية، عبر وضع المعادلات في أحد الأشكال القياسية الستة التالية، مع العلم أن (ب) و(جـ) يمثلان عددين صحيحين موجبَين في المعادلات التالية:
- أس2 = ب س (تساوي القيم التربيعية الجذور التربيعية).
- أس2 = جـ (تساوي القيم التربيعية الأرقام).
- ب س = جـ (تساوي الجذور التربيعية الأرقام).
- أس2 + ب س = جـ (تساوي القيم التربيعية والجذور التربيعية أرقاماً).
- أس2 + جـ = ب س (تساوي القيم التربيعية والأرقام الجذور التربيعية).
- ب س + جـ = أس2 (تساوي الجذور التربيعية والأرقام القيم التربيعية).
اعتماد الأرقام الهندية
ألف الخوارزمي أيضاً مؤلفاً حول الأرقام الهندية العربية (Hindu-Arabic numerals)، حيث أوضح فيه كيفية الاستفادة من نظام الأرقام الهندية الذي يتكون من 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، و0. كما يُعتقد أن الخوارزمي كان سبّاقاً في استخدام الصفر. بالإضافة إلى ذلك، كان أول من شرح نظام القيمة العشرية، وذلك بعد عودته من الهند، حيث يلعب نظام القيمة العشرية دوراً مهماً في مختلف المعاملات.
