أهمية نظرية فيثاغورس في مجال الرياضيات

نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس واحدة من أقدم وأهم النظريات في تاريخ الرياضيات، حيث تلعب دوراً أساسياً في مجالات الهندسة الإقليدية.
وما زالت هذه النظرية تستخدم على نطاق واسع في العصر الحديث، إذ تعتمد الهندسة الإقليدية على الأدوات التقليدية مثل المسطرة والفرجار لرسم الأشكال الهندسية.
سُمّيت هذه النظرية نسبةً إلى العالم اليوناني فيثاغورس، الذي كان مشهوراً كعالم في الرياضيات والفلسفة وعلم الفلك.
تتجاوز تطبيقات هذه النظرية حدود علم الرياضيات، لتشمل مختلف المجالات مثل الكيمياء والفيزياء.
تُستخدم نظرية فيثاغورس أيضاً في مجالات الملاحة البحرية والفضاء، فضلاً عن الرسومات البيانية والهندسة المدنية.
- لذا فإن مكانة نظرية فيثاغورس في الرياضيات تظل عالية وبارزة.
تنص نظرية فيثاغورس العكسية على:
- “في أي مثلث، إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا يعني أن المثلث قائم الزاوية”.

تتمتع نظرية فيثاغورس بأهمية كبيرة في الرياضيات، حيث تُستخدم في:
- حساب طول وتر المثلث القائم الزاوية إذا كانت أطوال الضلعين الآخرين معروفة.
- تُستخدم أيضاً في قياس المسافة بين نقطتين في نظام متعامد باستخدام الإحداثيات الديكارتية.
يمكن استغلال النظرية العكسية لإثبات تعامد ضلعين في مثلث، عندما تكون أطوال الأضلاع الثلاثة الأخرى معروفة.
تنص هذه النظرية على أنه في أي مثلث، إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين،
- فإن هذا المثلث يكون قائماً، حيث تقع الزاوية القائمة مقابل الضلع الأطول (الوتر).

تساعد نظرية فيثاغورس في تحديد نوع وشكل المثلث، إذ إن تحقق معادلة مُربّع الوتر يعادل مجموع مربعي الضلعين الآخرين يشير إلى أن المثلث قائم الزاوية 90 درجة.
تُسهم النظرية بشكل كبير في معرفة أطوال الأضلاع المخفية في المستطيلات والمربعات والمثلثات.
تلعب نظرية فيثاغورس دوراً مهماً في الهندسة المعمارية والهندسة الإنشائية.
- تساعد في الحفاظ على القياسات الدقيقة للزوايا في المباني.
كان فيثاغورس قد بدأ في إثبات نظريته من خلال ملاحظته أن أطوال الأضلاع في المثلثات القائمة الزاوية تتبع أنماطاً مثل (3,4,5) ومضاعفاتها كـ (6,8,10).
كما لاحظ أن مربع طول الوتر، أي الضلع المقابل للزاوية القائمة، يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين في المثلث نفسه.
- على سبيل المثال، إذا كان طول الوتر يساوي 5، فمربعه سيكون مساوياً لمجموع مربعي الضلعين الآخرين كالتالي: 9 + 16 = 25.

إذا كانت أطوال جوانب مثلث ما هي 8 سم، 15 سم، و17 سم، فهل هذا المثلث قائم الزاوية؟
- الحل: لا توجد معلومة تفيد بوجود زاوية قياسها 90 درجة، لذا نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الحل.
- (17) ²= 289، (15) ²= 225، (8) ²= 64
- 64 + 225 = 289
- وبتطبيق نظرية فيثاغورس، يتبين أن المثلث قائم الزاوية.
المثلث أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية عند الزاوية (ب)، حيث أ ب = 12 سم، ب ج = 5 سم، نرغب في إيجاد طول الضلع أ ج.
- الحل: بما أن المثلث أ ب ج هو مثلث قائم الزاوية عند (ب)، فإن مربع (أ ج) يساوي مربع (ب ج) زائد مربع (أ ب).
- مربع (5) + مربع (12) = 25 + 144 = 169، لذا فإن (أ ج) = الجذر التربيعي للعدد 169 = 13 سم.

يمكنكم أيضاً التعرف على:

تستخدم نظرية فيثاغورس لحساب طول القطر الذي يربط بين خطين مستقيمين، وهذا التطبيق يُستخدم بكثرة في مجال البناء والأعمال الخشبية.
إذا أراد شخص ما بناء سقف مائل، يمكنه استخدام هذه النظرية لإيجاد طول الوتر للسقف، وكذلك في قطع العمود الداعم للسقف.
يمكن أيضاً استخدام النظرية لحساب مساحة السقف الذي يُستخدم فيه الألواح الخشبية.
إذا كانت جميع الأبنية تعتمد أشكالاً موازية أو عمودية، فربما لن تكون هذه النظرية ضرورية بنفس القدر.
أيضاً، تُستخدم نظرية فيثاغورس لحساب المسافة المستقيمة بين نقطتين على مستوى الإحداثيات.

تعتبر عملية مسح الأراضي من الأساسيات التي تتم من قبل الجيولوجيين، حيث تُستخدم لحساب الارتفاعات والمساحات بين نقاط مختلفة.
- يعتمد المختصون على طرق تجعل القياسات المتعلقة بالمسافات ضمن نظام محدد، نظراً لعدم تساوي التضاريس في كثير من الأحيان.
تساعد النظرية في حساب انحدارات الهضاب والجبال.
- حيث يستخدم الرسامون المقراب لرؤية عصا القياس الواقعة على مسافة ثابتة، مما يشكل زاوية قائمة مع خط الرؤية.
بهذا الأسلوب، يُمكن للرسامون حساب قيمة الميل الذي تغطيه المسافة، ويبدأون في حساب الانحدار استنادًا إلى بيانات المسافة الأفقية وارتفاع العصا.
يظهر هذا الاستخدام بشكل أوضح أهمية نظرية فيثاغورس في الرياضيات، ويمكن أيضاً تطبيقها في أعمال البناء لضمان الشكل المربع الصحيح للبناء.