أساليب معالجة المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية

تعتبر المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية واحدة من الأدوات المهمة في المجالات العلمية، حيث تلعب دورًا أساسيًا في مجموعة متنوعة من التطبيقات سواء في الفيزياء أو الهندسة. كما تُستخدم هذه المعادلات لفهم كيفية حركة السيارات أو سلوك السفن على سطح الماء، وغيرها من الظواهر اليومية. في هذا المقال، سنستعرض كيفية التعامل مع المعادلات التفاضلية غير المتجانسة وعرض طرق حلها.

أساليب حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية

ساهمت المعادلات التفاضلية في توضيح العديد من المفاهيم في العلوم الهندسية ودراسة التحليل الرياضي، واكتسب استخدامها زخماً في مجالات العلوم وتطبيقاتها المختلفة. التالي هو توضيح لطرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية:

لنأخذ الحالة التالية كمثال: x² y” + xy’ + y = 2

توجد عدة طرق لحل هذه المعادلة، ولكن الحل العام لها يُعبر عنه بالصيغ التالية:

y = c1 e^r1x + c2 e^r2x + التكامل الجزئي

نبدأ بحل المعادلة كأنها معادلة تفاضلية متجانسة، ثم نحسب التكامل الجزئي للدالة الموجودة في الطرف الأيمن. لنأخذ مثالاً على معادلة تفاضلية متجانسة:

y” + 3y’ – 4y = 0

لحلها، نفرض أن y = e^rx، وطريقة الحل الصحيحة هي: y = C e^rx

لكن من الأفضل أن نحتفظ بالثابت C إلى نهاية الحل لتفادي حدوث أي لبس، بحيث يبقى C في المشتقة أو في التكامل كما هي. على سبيل المثال، مشتقة 2x ستكون 2، أو مشتقة 2e^x تحتفظ بنفس الشكل.

عند فرض أن y = e^rx، حيث r هو عدد حقيقي ثابت، نحصل على المشتقات الأولى والثانية: y’ = re^rx وy” = r² e^rx.

عند التعويض في المعادلة y” + 3y’ – 4y = 0 نحصل على:

r² e^rx + 3re^rx – 4e^rx = 0

بأخذ e^rx كعامل مشترك، نحصل على المعادلة: e^rx [r² + 3r – 4] = 0.

وبما أن e^rx لا يساوي صفر، علينا اقتباس الحل الثاني: r² + 3r – 4 = 0

يمكننا استخدام التحليل أو سبيل الحل العام. نجد أن الحلول هي:

r = 1 أو r = -4.

لذا، تكون الحلول الممكنة للمعادلة السابقة هي:

y = c1 e^x أو y = c2 e^-4x.

حيث c1 وc2 هما ثوابت، وقد برهنا أنه يمكن جمع الحلين بشكل خطي، مما يجعل الحل العام للمعادلة كالتالي:

y = c1 e^x + c2 e^-4x.

بوجه عام، الحل العام للمعادلة التفاضلية التي تأخذ الشكل y” + ay’ + by = 0 هو:

y = c1 e^r1x + c2 e^r2x.

حيث أن r1 وr2 هما جذور المعادلة r² + ar + b = 0.

أما المعادلات التي تأخذ الشكل y” + ay’ + by = Q(x) فإن الحل العام لها يعبر عن الحل الخاص للمعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية كالتالي:

y = c1 e^r1x + c2 e^r2x + التكامل الجزئي.

المعادلة التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية

تعرف المعادلة التفاضلية غير المتجانسة على أنها تلك التي لا تساوي الطرف الأيمن من المعادلة الصفر، كمثال:

ص” + 4y’ + 4y = 5x² + 3x

لحلها، نفرض أن ص = ش(س)الخامس(س)، حيث u(x) وv(x) هما دالتان غير معروفين. بعد التعويض في المعادلة نحصل على:

u”v + 2u’v’ + uv” + 4u’v + 4uv’ + 4uv = 5x² + 3x.

بعد تبسيط هذه المعادلة وتجميعها، الوصول إلى الصيغة التالية:

v(u” + 4u’ + 4u) + u(v” + 2v’ + 4v) = 5x² + 3x.

الفارق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة

يتعلق الفارق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة بأن أحد أطراف المعادلة، سواء على اليمين أو اليسار، يجب أن يساوي صفرًا، بمعنى آخر، يجب أن يكون الحد الثابت صفرًا.

بينما تتطلب المعادلة التفاضلية غير المتجانسة وجود حد غير صفري، وهو ما يعني أنه لا يمكن أن يساوي الصفر على جانبي المعادلة.

علاوة على ذلك، عند حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة، يتكون الحل من كل من حل المعادلة المتجانسة وحل المعادلة غير المتجانسة. ورغم أن المعادلة غير المتجانسة تشبه إلى حد كبير المعادلة المتجانسة، إلا أن الاختلاف يكمن في وجود حد إضافي مؤثر على المتغيرات المشتقة.

وفي الختام، تم عرض طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية. وتجد هذه المعادلات تطبيقًا واسعًا في مجالات الرياضيات، والفيزياء، والهندسة، كما تُستخدم أيضًا في شبكات الهواتف النقالة ومجالات البحث العلمي.