أهمية ترتيب العمليات الحسابية في الرياضيات

تعتبر أولويات العمليات الحسابية من العناصر الأساسية في الرياضيات. فعندما تُطلب منك تبسيط تعبير مثل “4 + 2 × 3″، قد يتبادر إلى ذهنك سؤال: كيف يمكنني القيام بذلك؟ حيث أن هناك طريقتين مختلفتين للحساب!

أولويات العمليات الحسابية

قد يبدو أن الإجابة تعتمد على منظورك للمشكلة، لكن في الرياضيات يجب أن نكون دقيقين ولا يمكننا التحلي بالمرونة الزائدة.

لا يمكن أن تنجح العمليات الحسابية إذا لم تكن متأكدًا من الإجابة الصحيحة، أو إذا في إمكانك الوصول إلى نتائج متباينة لنفس التعبير.

لإزالة هذا النوع من الغموض، وُضعت قواعد بسيطة لتحديد أولويات العمليات، والتي تعود جذورها على الأقل إلى القرن السادس عشر.

تسمى هذه القواعد بـ “ترتيب العمليات”، وتشمل العمليات الأربعة الأساسية: الجمع، الطرح، الضرب، والقسمة، بالإضافة إلى الأس والتجميع.

ترتيب هذه العمليات هو كالتالي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.

يمكن تلخيص ذلك كما يلي: الأقواس تتمتع بالأولوية العالية تليها الأسس، ثم تأتي الضرب والقسمة (التي تُعالج من اليمين إلى اليسار في الأعداد العربية، ومن اليسار إلى اليمين في الأعداد الإنجليزية).

يضاهي الضرب والقسمة الجمع والطرح (التي تعالج أيضًا في الترتيب السفلي)، بمعنى آخر، ترتيب الأولويات هو:

• الأقواس (تبسيط القيم داخل الأقواس).
• الأس.
• الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار في الأعداد العربية، ومن اليسار إلى اليمين في الأعداد الإنجليزية).
• الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار في الأعداد العربية، ومن اليسار إلى اليمين في الأعداد الإنجليزية).

تابع أيضًا:

اتجاه حل المسائل

عندما يكون لديك مجموعة من العمليات تتساوى في الأولوية، ينبغي أن تعمل من اليسار إلى اليمين.

كمثال، التعبير “15 ÷ 3 × 4” ليس بالصيغة “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4″، بل هو بالأحرى “15 ÷ (3 × 4) = 15 ÷ 12”.

فبالتحرك من اليسار إلى اليمين، نجد أن القسمة تمت أولاً.

إذا كنت غير متأكد، يمكنك اختبار ذلك في آلة حاسبة تم تصميمها حسب تسلسل ترتيب العمليات.

على سبيل المثال، عند إدخال التعبير المذكور في آلة حاسبة معادلات، ستحصل على:

  20 = 15 ÷ 3 × 4

وفقاً للتسلسل الهرمي السابق، يتضح أن الخيار الثاني (الذي يعادل 10) هو الإجابة الصحيحة، وذلك لأننا يجب أن نحقّق الضرب قبل الجمع.

أهمية ترتيب العمليات الرياضية

تم وضع ترتيب العمليات بهدف تجنب اللبس، ولكن يمكن أن يؤدي نظام PEMDAS في بعض الأحيان إلى إحداث الارتباك.

حيث يميل بعض الطلاب أحيانًا إلى تطبيق التسلسل الهرمي كما لو كانت جميع العمليات متساوية في المستوى (ببساطة الانتقال من اليسار إلى اليمين)، لكن في كثير من الأحيان لا تكون هذه العمليات “متكافئة”.

إن العمل على حل المسائل من الداخل إلى الخارج غالبًا ما يكون أكثر فاعلية، بدلاً من العمل من اليسار إلى اليمين.

لأن بعض أجزاء المسألة قد تتطلب معالجة “أعمق” من غيرها، وأفضل طريقة لتوضيح ذلك هي من خلال بعض الأمثلة:

• تبسيط التعبير: 32 + 4

الحل: في هذه الحالة، نحن بحاجة إلى تبسيط العناصر داخل الأس قبل إضافة العدد 4، ويمكن وصف ذلك كالآتي:

13 = 9 + 4 = 32 + 4، بالتالي فإن قيمة التعبير المبسطة هي 13

مثال

• تبسيط التعبير: 2(1 + 2) + 4

الحل: في هذا المثال، يجب علينا تبسيط الأرقام داخل الأقواس في البداية، قبل معاملة الأس.

وعندما نحصل على ذلك، سيكون لدينا بعد ذلك: 2(3) + 4 = 2(1 + 2) + 4، وبالتالي قيمة التعبير المبسطة ستكون 13

مثال آخر

• تبسيط التعبير: 2 [(1 – 2-) 1-] + 4

الدخول إلى هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين ليس الطريقة الأمثل، حيث أن هذا قد يؤدي إلى الأخطاء.

بدلاً من ذلك، سنبدأ من الداخل إلى الخارج، أولاً نقوم بتبسيط القيم الموجودة داخل الأقواس المعقوفة.

وعندما نصل لنقيم الأقواس المربعة، بعدها فقط نقوم بمعالجة الأس.

عند الانتهاء، يمكننا أخيرًا إضافة العدد 4، ويمكن وصف ذلك كما يلي:

2 [(1 – 2-) 1-] + 4

2[(3-) 1-] + 4 =

2[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

للاشارة، ليس هناك أهمية خاصة لاستخدام الأقواس المربعة (“[” و “]” المُشار إليهما سابقًا)، بدلاً من الأقواس التقليدية.

تستخدم الأقواس المعقوفة والأقواس المتعرجة (الأحرف “{” و “}”) عند وجود أقواس متداخلة، كمساعد لتتبع استخدام كل نوع من الأقواس.

أيضًا، يُستخدم أحرف التجميع كلون مختلف للراحة في الاستخدام، وهذا مشابه للطرق المستخدمة في جداول بيانات Excel عند إدخال معادلات باستخدام الأقواس:

حيث يتم تمييز كل مجموعة من الأقواس بلون مختلف لتسهيل فهم الأزواج:

مثال

• تبسيط التعبير: (4/3 + 2/3-) 4

الناتج: نبدأ بتبسيط القيم داخل الأقواس في البداية، ويمكن وصف ذلك بالنحو التالي:

(4/3 + 2/3-) 4

وبالتالي (3 / 4 + 2-) 4 =

أيضًا (3 / 2) 4 =

3 / 8 =

إذن قيمة التعبير المبسطة ستكون 3 / 8

المشكلات المتعلقة بالتبسيط

تأتي معظم المشاكل المتعلقة بتبسيط التعبيرات من الأقواس المتداخلة، الأس، وعلامات الطرح.

لذا، في الأمثلة التالية، سنقوم بشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.

مثال

• تبسيط التعبير: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

الحل: سنقوم بتبسيط الشكل من الداخل إلى الخارج: أولاً الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع مراعاة أن علامة الطرح تخصص للعدد 3 قبل الأقواس.

وبمجرد الانتهاء من تجميع الأجزاء، سيتعين علينا إجراء القسمة، تليها إضافة العدد 4، ويمكن وصف ذلك كما يلي:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3 – 4 =

وبالتالي 2 ÷ [6 – 4] 3 – 4 =

2 ÷ [2-] 3 – 4 =

وبذلك 2 ÷ 6 + 4 =

لنصل في النهاية إلى 3 + 4 =

7 =

وبالتالي فإن القيمة المبسطة ستكون 7

مثال آخر

• تبسيط التعبير: 5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

النتيجة: تذكر أنه يتعين عليك تبسيط ما بداخل الأقواس قبل إجراء عملية التربيع.

لأن 2(3 – 8) تختلف عن 32 – 82، وبالتالي يمكن وصف ذلك بالمعادلة التالية:

5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

تساوي 5 ÷ 2(5) 3 – 16 =

5 ÷ (25) 3 – 16 =

بينما 5 ÷ 75 – 16 =

لنصل إلى 15 – 16 =

1 =

وبهذا، ستصبح القيمة المبسطة للمقدار 1

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا تعلمت حول المتغيرات والجمع بين المصطلحات، فقد تواجه تمرينات مثل:

• تبسيط التعبير: [(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

الحل: إذا واجهت مشكلة في تطبيق عملية الطرح داخل أقواس، فيمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 داخل الأقواس (راعي اللون الأحمر المحدد “1” أدناه):

[(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3)] =

[14x + 5[6 – 2x – 3] =

ومن ثم، [14x + 5[3 – 2x] =

14x + 15 – 10x =

4x + 15 =

وبهذا، فإن القيمة المبسطة هي 4x + 15

مثال

• تبسيط التعبير: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –

في هذا الحالة، يجب أن نتذكر المفهوم الخاص بالتبسيط في كل خطوة، وكذلك الجمع بين العناصر المتشابهة متى وأينما نتمكن:

{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

أيضًا 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

بينما تكون {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

وأخيرًا، {2x + 6x – 3x + 1} – =

الذي يساوي {5x + 1} – =